Enunciado

Dois discos de raio igual a 10   c m está separados pela distância de 1,0   m m e com seus eixos de simetria coincidentes. Um disco tem densidade de carga uniforme σ = 3,0 ⋅ 10 - 10   C / c m 2 e outro tem densidade de carga também uniforme σ ' = - σ . Calcule aproximadamente a força entre os dois discos.

Passo 1

Esse é aquele típico exercício que a gente lê e pensa: impossível fazer! De fato, se a gente quiser uma resposta exata é impossível fazer na mão, só o computador pode fazer... Mas a ideia aqui é treinar um pouco nossa intuição e achar uma resposta aproximada!

Por que esse problema é impossível de resolver na mão exatamente? Pense na situação: queremos achar a força entre dois discos carregadas. O caminho seria primeiro achar o campo produzido por um dos discos em todo o espaço e assim ver a força que aparece no segundo disco devido a esse campo.

O problema é: nós só sabemos calcular o campo de um disco no seu eixo de simetria e, para resolver esse problema exatamente nós precisaríamos desse campo no espaço todo, o que não sabemos achar.

Para vocês que são mais curiosos, até dá para escrever uma expressão para o campo no espaço todo usando séries e harmônicos esféricos, mas isso foge completamente do escopo desse livro e com certeza não é isso que o exercício quer que você faça.

Passo 2

Ok, até agora eu só estou enrolando você e dizendo que não dá para resolver o problema exatamente, mas como chegar numa aproximação razoável? O segredo está na comparação do raio R = 10   c m = 100   m m dos discos com a distância d = 1,0   m m entre eles. Observe que

d R = 1 100

Portanto, a distância entre os discos é 1% do raio deles. Isso significa que as dimensões dos discos são tão maiores que a distância entre eles que podemos aproximar o campo produzido por um disco sobre o outro como se fosse o campo elétrico de um plano infinito, dado por

E = σ 2 ϵ 0

Isso é claramente uma aproximação, o campo não será uniforme, mas essa aproximação é bem razoável para esse problema.

Daí, a força infinitesimal d F sobre um pedacinho de carga d q sobre o segundo cilindro será

d F = E   d q = σ 2 ϵ 0   d q

Daí, para achar a força total basta integrar:

F = σ 2 ϵ 0 ∫ d q = σ 2 ϵ 0   Q

Esse foi o ponto que a aproximação ajudou muito: se não fizéssemos a aproximação, o campo seria diferente e a apontaria em direções diferentes para cada elemento de carga d q e não poderia ser tirado para fora da integral, o que dificultaria muito nosso trabalho. Com a aproximação tudo ficou bem mais simples!

A carga sobre o segundo disco será simplesmente o produto da densidade pela área do disco:

Q = σ A = σ π R 2

Estou trabalhando apenas com os módulos aqui, por isso não estou me preocupando com os sinais. É evidente que como os discos estão carregados com cargas opostas eles vão se atrair!

Substituindo uma relação na outra:

F = σ 2 ϵ 0 ⋅ σ π R 2

Logo,

F = σ 2 π R 2 2 ϵ 0

Passo 3

Agora é só substituir os valores:

σ = 3 ⋅ 10 - 10 C c m 2 = 3 ⋅ 10 - 6   C / m 2

R = 10   c m = 0,1   m

ϵ 0 = 8,85 ⋅ 10 - 12   C 2 / N m 2

Fazendo as contas, achamos

F = 0,016   N

Resposta

F = 0,016   N

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

No Exemplo 21.10 (Seção 21.5), verificamos que o campo elétrico produzido por um fio retilíneo infinito carregado é perpendicular ao fio e possui módulo E = λ / 2 π ϵ 0 r . Considere uma superfície ci
O campo elétrico é constante sobre cada face do cubo mostrado na figura ex28.4. A caixa contém uma carga positiva, uma carga negativa ou não contém uma carga líquida? Explique.
| Um retângulo de 2,0c m ×3,0c m situa-se no plano xy. Qual será o valor do fluxo elétrico através do retângulo se: E → = 50î + 100k N C ? î E → = 50 î + 100j N C î ?
O campo elétrico é constante sobre cada face do cubo mostrado na figura ex28.5. A caixa contém uma carga positiva, uma carga negativa ou não contém uma carga líquida? Explique.
Qual é o fluxo elétrico através da superfície mostrada na figura ex28.9?