Calcule o gradiente
das seguintes funções,
: (d)
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o gradiente da função
, onde
é a distância do ponto
até a origem. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente envolvendo derivadas parciais e vetores gradiente. Para resolver, vamos precisar lembrar como calcular derivadas parciais e montar o vetor gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função
é um vetor que aponta na direção de maior aumento de
e suas componentes são as derivadas parciais de
em relação a cada variável. Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos expressar
em termos de
. Sabemos que:
Então, a função fica:
Passo 4
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Usamos a regra da cadeia:
Passo 5
De forma semelhante, calculamos as derivadas parciais em relação a
e
:
Passo 6
Agora, juntamos essas derivadas para formar o vetor gradiente:
Passo 7
Podemos simplificar a expressão do gradiente fatorando o termo comum:
Resposta
O gradiente da função
é: