Calcule o gradiente das seguintes funções, : (d) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o gradiente da função , onde é a distância do ponto até a origem. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente envolvendo derivadas parciais e vetores gradiente. Para resolver, vamos precisar lembrar como calcular derivadas parciais e montar o vetor gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função é um vetor que aponta na direção de maior aumento de e suas componentes são as derivadas parciais de em relação a cada variável. Ou seja:

Passo 3

Agora, vamos expressar em termos de . Sabemos que:
Então, a função fica:

Passo 4

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Usamos a regra da cadeia:

Passo 5

De forma semelhante, calculamos as derivadas parciais em relação a e :

Passo 6

Agora, juntamos essas derivadas para formar o vetor gradiente:

Passo 7

Podemos simplificar a expressão do gradiente fatorando o termo comum:

Resposta

O gradiente da função é:

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