A demonstração de que a condição
, garantindo que o trabalho
realizado por
é independente do caminho, é, infelizmente, muito longa para ser incluída aqui. Entretanto, os três exercícios a seguir exploram os pontos principais:
Mostre que a independência do caminho para
é equivalente à afirmação de que a integral
em torno de qualquer caminho fechado
é zero. (Por tradição, o símbolo
é usado para integrais em torno de um caminho fechado - um caminho que começa e termina no mesmo ponto.) [Sugestão: para quaisquer dois pontos 1 e 2 e quaisquer caminhos de 1 a 2 , considere o trabalho realizado por
indo de 1 a 2 ao longo do primeiro caminho e depois de volta para 1 ao longo do segundo na direção inversa.]
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a independência do caminho para a integral de trabalho
é equivalente a dizer que a integral
em qualquer caminho fechado
é zero. Basicamente, vamos explorar duas maneiras de verificar se o trabalho realizado por um campo vetorial
não depende do trajeto escolhido entre dois pontos. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial, como campos conservativos e integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a integral
. Essa integral calcula o trabalho realizado por um campo vetorial
ao mover um objeto do ponto 1 para o ponto 2 ao longo de um caminho específico. Quando dizemos que esse trabalho é independente do caminho, queremos dizer que não importa qual trajeto escolhemos entre esses dois pontos, o valor da integral será sempre o mesmo.
Passo 3
Agora, a condição
significa que o rotacional do campo
é zero em todos os pontos. Em termos mais simples, isso indica que o campo não possui “girando” em nenhum lugar e, portanto, é um campo conservativo. Campos conservativos têm a propriedade de que o trabalho realizado é independente do caminho escolhido entre dois pontos.
Passo 4
Por outro lado, a integral
representa o trabalho realizado por
ao percorrer um caminho fechado
, ou seja, um trajeto que começa e termina no mesmo ponto. A afirmação de que essa integral é zero para qualquer caminho fechado significa que, não importa como você vá e volte pelo trajeto, o trabalho total se anula.
Passo 5
Vamos conectar essas ideias. Se o trabalho é independente do caminho, então se você for de 1 a 2 por um caminho qualquer e retornar de 2 a 1 pelo mesmo caminho de volta, o trabalho total será zero, pois vai ter ido e vindo com o mesmo valor, mas em direções opostas. Isso implica que
para qualquer caminho fechado
.
Passo 6
Conversamente, se sabemos que
para qualquer caminho fechado, isso indica que o trabalho realizado ao ir de 1 a 2 é o mesmo, independentemente do caminho escolhido, já que qualquer diferença seria compensada ao retornar pelo caminho inverso. Portanto, o trabalho é independente do caminho.
Resposta
Assim, mostramos que a condição
(rotacional nulo) garante que a integral de trabalho
é independente do caminho, o que é equivalente a afirmar que
para qualquer caminho fechado
.