A demonstração de que a condição , garantindo que o trabalho realizado por é independente do caminho, é, infelizmente, muito longa para ser incluída aqui. Entretanto, os três exercícios a seguir exploram os pontos principais: Mostre que a independência do caminho para é equivalente à afirmação de que a integral em torno de qualquer caminho fechado é zero. (Por tradição, o símbolo é usado para integrais em torno de um caminho fechado - um caminho que começa e termina no mesmo ponto.) [Sugestão: para quaisquer dois pontos 1 e 2 e quaisquer caminhos de 1 a 2 , considere o trabalho realizado por indo de 1 a 2 ao longo do primeiro caminho e depois de volta para 1 ao longo do segundo na direção inversa.]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a independência do caminho para a integral de trabalho é equivalente a dizer que a integral em qualquer caminho fechado é zero. Basicamente, vamos explorar duas maneiras de verificar se o trabalho realizado por um campo vetorial não depende do trajeto escolhido entre dois pontos. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial, como campos conservativos e integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a integral . Essa integral calcula o trabalho realizado por um campo vetorial ao mover um objeto do ponto 1 para o ponto 2 ao longo de um caminho específico. Quando dizemos que esse trabalho é independente do caminho, queremos dizer que não importa qual trajeto escolhemos entre esses dois pontos, o valor da integral será sempre o mesmo.

Passo 3

Agora, a condição significa que o rotacional do campo é zero em todos os pontos. Em termos mais simples, isso indica que o campo não possui “girando” em nenhum lugar e, portanto, é um campo conservativo. Campos conservativos têm a propriedade de que o trabalho realizado é independente do caminho escolhido entre dois pontos.

Passo 4

Por outro lado, a integral representa o trabalho realizado por ao percorrer um caminho fechado , ou seja, um trajeto que começa e termina no mesmo ponto. A afirmação de que essa integral é zero para qualquer caminho fechado significa que, não importa como você vá e volte pelo trajeto, o trabalho total se anula.

Passo 5

Vamos conectar essas ideias. Se o trabalho é independente do caminho, então se você for de 1 a 2 por um caminho qualquer e retornar de 2 a 1 pelo mesmo caminho de volta, o trabalho total será zero, pois vai ter ido e vindo com o mesmo valor, mas em direções opostas. Isso implica que para qualquer caminho fechado .

Passo 6

Conversamente, se sabemos que para qualquer caminho fechado, isso indica que o trabalho realizado ao ir de 1 a 2 é o mesmo, independentemente do caminho escolhido, já que qualquer diferença seria compensada ao retornar pelo caminho inverso. Portanto, o trabalho é independente do caminho.

Resposta

Assim, mostramos que a condição (rotacional nulo) garante que a integral de trabalho é independente do caminho, o que é equivalente a afirmar que para qualquer caminho fechado .

Exercícios de Livros Relacionados