Escrevendo em termos de componentes, mostre que a regra do produto para derivação se aplica ao produto escalar de dois vetores, isto é,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, quando a gente tem o produto escalar de dois vetores que dependem do tempo, a derivada desse produto segue a mesma regra do produto que a gente conhece na matemática. Ou seja:
Para resolver isso, vamos precisar usar a definição do produto escalar e a regra do produto para derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o produto escalar. Se temos dois vetores e , com componentes:
O produto escalar deles é calculado assim:

Passo 3

Agora, queremos derivar esse produto escalar em relação ao tempo . Ou seja, vamos calcular:

Passo 4

Vamos aplicar a regra do produto para derivadas, que diz que a derivada de um produto de duas funções é a derivada da primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda. Então, para cada termo , temos:

Passo 5

Aplicando isso a cada componente, a derivada total fica:

Passo 6

Agora, vamos organizar os termos para ficar mais claro:

Passo 7

Perceba que cada uma dessas somas é, na verdade, um produto escalar. A primeira soma é o produto escalar da derivada de com , e a segunda é o produto escalar de com a derivada de . Então podemos escrever:
e

Passo 8

Juntando tudo, a derivada do produto escalar fica:

Resposta

Assim, mostramos que a derivada do produto escalar de dois vetores segue a regra do produto:

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