Escrevendo
em termos de componentes, mostre que a regra do produto para derivação se aplica ao produto escalar de dois vetores, isto é,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, quando a gente tem o produto escalar de dois vetores que dependem do tempo, a derivada desse produto segue a mesma regra do produto que a gente conhece na matemática. Ou seja:
Para resolver isso, vamos precisar usar a definição do produto escalar e a regra do produto para derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o produto escalar. Se temos dois vetores
e
, com componentes:
O produto escalar deles é calculado assim:
Passo 3
Agora, queremos derivar esse produto escalar em relação ao tempo
. Ou seja, vamos calcular:
Passo 4
Vamos aplicar a regra do produto para derivadas, que diz que a derivada de um produto de duas funções é a derivada da primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda. Então, para cada termo
, temos:
Passo 5
Aplicando isso a cada componente, a derivada total fica:
Passo 6
Agora, vamos organizar os termos para ficar mais claro:
Passo 7
Perceba que cada uma dessas somas é, na verdade, um produto escalar. A primeira soma é o produto escalar da derivada de
com
, e a segunda é o produto escalar de
com a derivada de
. Então podemos escrever:
e
Passo 8
Juntando tudo, a derivada do produto escalar fica:
Resposta
Assim, mostramos que a derivada do produto escalar de dois vetores segue a regra do produto: