A demonstração de que a condição , garantindo que o trabalho realizado por é independente do caminho, é, infelizmente, muito longa para ser incluída aqui. Entretanto, os três exercícios a seguir exploram os pontos principais: O teorema de Stokes assegura que , onde a integral da direita é uma integral de superfície sobre a superfície na qual o caminho é a fronteira, e n̂ e são o vetor normal à superfície e o elemento de área. Mostre que o teorema de Stokes implica que, se em todo ponto, então .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o teorema de Stokes e quer que a gente mostre que, se o rotacional de um campo vetorial é zero em todos os pontos ( ), então a integral de ao longo de um caminho fechado também é zero. Para resolver isso, vamos precisar entender o teorema de Stokes e o conceito de rotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o teorema de Stokes. Esse teorema relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada com a integral de superfície do rotacional desse campo sobre uma superfície que tem como fronteira. Em fórmulas, fica assim:
Aqui, é o vetor normal à superfície e é o elemento de área.

Passo 3

Agora, a gente sabe que o rotacional de é zero em todo ponto, ou seja:
Isso significa que, em qualquer ponto da superfície , o rotacional de não tem componente nenhuma. Então, quando a gente calcula a integral de superfície do rotacional, cada ponto contribui com zero.

Passo 4

Vamos aplicar essa informação na equação do teorema de Stokes. Substituindo na integral de superfície, temos:
Ou seja, a integral de superfície é igual a zero.

Passo 5

Como pelo teorema de Stokes a integral de linha é igual à integral de superfície que acabamos de ver que é zero, conclui-se que:

Resposta

Portanto, usando o teorema de Stokes, mostramos que se em todo ponto, então a integral de ao longo de um caminho fechado é zero.

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