A demonstração de que a condição
, garantindo que o trabalho
realizado por
é independente do caminho, é, infelizmente, muito longa para ser incluída aqui. Entretanto, os três exercícios a seguir exploram os pontos principais:
O teorema de Stokes assegura que
, onde a integral da direita é uma integral de superfície sobre a superfície na qual o caminho
é a fronteira, e n̂ e
são o vetor normal à superfície e o elemento de área. Mostre que o teorema de Stokes implica que, se
em todo ponto, então
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o teorema de Stokes e quer que a gente mostre que, se o rotacional de um campo vetorial
é zero em todos os pontos (
), então a integral de
ao longo de um caminho fechado
também é zero. Para resolver isso, vamos precisar entender o teorema de Stokes e o conceito de rotacional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o teorema de Stokes. Esse teorema relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada
com a integral de superfície do rotacional desse campo sobre uma superfície
que tem
como fronteira. Em fórmulas, fica assim:
Aqui,
é o vetor normal à superfície
e
é o elemento de área.
Passo 3
Agora, a gente sabe que o rotacional de
é zero em todo ponto, ou seja:
Isso significa que, em qualquer ponto da superfície
, o rotacional de
não tem componente nenhuma. Então, quando a gente calcula a integral de superfície do rotacional, cada ponto contribui com zero.
Passo 4
Vamos aplicar essa informação na equação do teorema de Stokes. Substituindo
na integral de superfície, temos:
Ou seja, a integral de superfície é igual a zero.
Passo 5
Como pelo teorema de Stokes a integral de linha
é igual à integral de superfície que acabamos de ver que é zero, conclui-se que:
Resposta
Portanto, usando o teorema de Stokes, mostramos que se
em todo ponto, então a integral de
ao longo de um caminho fechado
é zero.