Num caminho aleatório em uma dimensão, depois de
passos a partir da origem, a posição é dada por
onde
é um conjunto de variáveis aleatórias independentes, identicamente distribuídas, dadas pela distribuição de probabilidades
onde o e
são constantes positivas. Depois de
passos, qual o deslocamento médio a partir da origem? Qual o valor do desvio quadrático médio da variável alcatória
? Para
grande, qual a forma da distribuição gaussiana associada a esse problema? Como é que seus resultados se modificariam se cm cada passo o deslocamento fosse sempre positivo, com probabilidades iguais de se situar em qualquer ponto no intervalo entre
e
?
Passo 1
O enunciado trata de um passeio aleatório em uma dimensão em que a posição após
passos é
sendo os
i.i.d. com densidade gaussiana de média
e variância
. Vamos usar as propriedades de esperança, variância de soma de variáveis independentes e o Teorema do Limite Central.
Passo 2
Calcular o deslocamento médio
.
Pela linearidade da esperança,
Pela linearidade da esperança,
Como cada
tem distribuição normal com média
, temos
. Logo,
Passo 3
Calcular o desvio quadrático médio (variância) de
.
Para variáveis independentes,
Para variáveis independentes,
Como
, segue
Passo 4
Forma da distribuição de
para
grande.
A convolução de gaussiana é outra gaussiana. Assim, exatamente para qualquer
,
A convolução de
Em particular, para
este é o resultado do Teorema do Limite Central.
Passo 5
Agora suponha que cada passo seja uniforme em
com
.
A esperança de uma uniforme é
, aqui
. A variância é
A esperança de uma uniforme
Passo 6
Deslocamento médio e variância no caso uniforme e forma assintótica.
Para
, pelo Teorema do Limite Central,
Resposta
Para
No caso de passos uniformes em
,
e para grande
e para