Num caminho aleatório em uma dimensão, depois de N passos a partir da origem, a posição é dada por
x=sumj=1^N sj
onde sj é um conjunto de variáveis aleatórias independentes, identicamente distribuídas, dadas pela distribuição de probabilidades
w(s)=(2 pi sigma^2)^-1 / 2 exp [-(s-l)^22 sigma^2],
onde o e l são constantes positivas. Depois de N passos, qual o deslocamento médio a partir da origem? Qual o valor do desvio quadrático médio da variável alcatória x ? Para N grande, qual a forma da distribuição gaussiana associada a esse problema? Como é que seus resultados se modificariam se cm cada passo o deslocamento fosse sempre positivo, com probabilidades iguais de se situar em qualquer ponto no intervalo entre l-b e l+b, com 0<b<l ?

Passo 1

O enunciado trata de um passeio aleatório em uma dimensão em que a posição após N passos é
x=sumj=1^Nsj,
sendo os sj i.i.d. com densidade gaussiana de média ,l e variância ,sigma^2. Vamos usar as propriedades de esperança, variância de soma de variáveis independentes e o Teorema do Limite Central.

Passo 2

Calcular o deslocamento médio lang<= xrang<=.
Pela linearidade da esperança,
lang<= xrang<= =sumj=1^Nlang<= sjrang<= =N,lang<= srang<=
Como cada sj tem distribuição normal com média ,l, temos lang<= srang<==l. Logo,
lang<= xrang<= = N,l

Passo 3

Calcular o desvio quadrático médio (variância) de x.
Para variáveis independentes,
Var(x) =sumj=1^NVar(sj) =N,Var(s)
Como Var(s)=sigma^2, segue
Var(x)=N,sigma^2

Passo 4

Forma da distribuição de x para N grande.
A convolução de N gaussiana é outra gaussiana. Assim, exatamente para qualquer N,
P(x) =1raiz2pi,Nsigma^2 exp!l[-(x-Nl)^22Nsigma^2r]
Em particular, para Ngg1 este é o resultado do Teorema do Limite Central.

Passo 5

Agora suponha que cada passo seja uniforme em [,l-b,;l+b,] com 0<b<l.
A esperança de uma uniforme [a,c] é (a+c)/2, aqui lang<= srang<==l. A variância é
Var(s) =(c-a)^212 =(2b)^212 =b^23

Passo 6

Deslocamento médio e variância no caso uniforme e forma assintótica.
lang<= xrang<= =N,l, Var(x) =N,b^23
Para Ngg1, pelo Teorema do Limite Central,
P(x)approx 1raiz2pi,N,b^2/3 exp!l[-(x-Nl)^22,N,b^2/3r]

Resposta

lang<= xrang<= = N,l
lang<= (x-lang<= xrang<=)^2rang<= = N,sigma^2
Para N grande,
P(x) =1raiz2pi,Nsigma^2 exp!l[-(x-Nl)^22Nsigma^2r]
No caso de passos uniformes em [l-b,l+b],
lang<= xrang<==Nl,
lang<= (x-lang<= xrang<=)^2rang<==N,b^2/3,
e para N grande
P(x)approx 1raiz2pi,N,b^2/3 exp!l[-(x-Nl)^22,N,b^2/3r]

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