Obtenha expressões para o terceiro e o quarto momentos de uma distribuição binomial. Como é que se comportam esses momentos para N grande?

Passo 1

O enunciado pede os momentos de ordem 3 e 4 de uma variável aleatória X que segue a distribuição binomial com parâmetros N (número de ensaios) e p (probabilidade de sucesso). Para obter momentos desta ordem é conveniente usar momentos fatoriais, pois para k inteiro positivo sabemos que
El[X(X-1)cdots(X-k+1)r]
tem expressão fechada em função de N e p. Depois, usamos relações entre esses momentos fatoriais e os momentos ordinários E[X^3] e E[X^4].

Passo 2

Para o terceiro momento ordinário vale a identidade
E[X^3] = El[X(X-1)(X-2)r] +3,El[X(X-1)r] +E[X]
Como a distribuição é binomial, temos
El[X(X-1)(X-2)r] = N(N-1)(N-2),p^3,
El[X(X-1)r] = N(N-1),p^2,
E[X]=N,p
Substituindo na identidade acima obtemos imediatamente E[X^3].

Passo 3

Fazendo a substituição em
E[X^3] = N(N-1)(N-2)p^3 +3,N(N-1)p^2 +N,p
e, se quisermos expandir, note que N(N-1)(N-2)=N^3-3N^2+2N e N(N-1)=N^2-N. Logo
E[X^3] = N^3p^3 +3N^2l(p^2-p^3r) +Nl(p-3p^2+2p^3r)

Passo 4

Para o quarto momento ordinário usamos
E[X^4] = El[X(X-1)(X-2)(X-3)r] +6,El[X(X-1)(X-2)r] +7,El[X(X-1)r] +E[X]
Pela binomial:
El[X(X-1)(X-2)(X-3)r] = N(N-1)(N-2)(N-3),p^4,
e já conhecemos E[X(X-1)(X-2)], E[X(X-1)] e E[X]. Basta substituir.

Passo 5

Substituindo obtemos
E[X^4] = N(N-1)(N-2)(N-3)p^4 +6,N(N-1)(N-2)p^3 +7,N(N-1)p^2 +N,p
Expandindo parcialmente N(N-1)(N-2)(N-3)=N^4-6N^3+11N^2-6N e N(N-1)(N-2)=N^3-3N^2+2N, dá-se escrever
E[X^4] = N^4p^4 +6N^3l(p^3-p^4r) +N^2l(7p^2-18p^3+11p^4r) +Nl(p-7p^2+12p^3-6p^4r)

Passo 6

Para N muito grande, com p fixo em (0,1), os termos de maior potência de N dominam. Assim
E[X^3]sim N^3,p^3, E[X^4]sim N^4,p^4 (Ntoinfty)
Em particular os momentos crescem como potências de N de ordem igual à própria ordem do momento.

Resposta

E[ X^3] = N (N - 1) (N - 2) p^3 + 3 N (N - 1) p^2 + N p
E[ X^4] = N (N - 1) (N - 2) (N - 3) p^4 + 6 N (N - 1) (N - 2) p^3 + 7 N (N - 1) p^2 + N p
Para N grande:
E[ X^3] \approx N^3 p^3,
E[ X^4] \approx N^4 p^4.

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