Obtenha expressões para o terceiro e o quarto momentos de uma distribuição binomial. Como é que se comportam esses momentos para
grande?
Passo 1
O enunciado pede os momentos de ordem
e
de uma variável aleatória
que segue a distribuição binomial com parâmetros
(número de ensaios) e
(probabilidade de sucesso). Para obter momentos desta ordem é conveniente usar momentos fatoriais, pois para
inteiro positivo sabemos que
tem expressão fechada em função de
e
. Depois, usamos relações entre esses momentos fatoriais e os momentos ordinários
e
.
Passo 2
Para o terceiro momento ordinário vale a identidade
Como a distribuição é binomial, temos
Substituindo na identidade acima obtemos imediatamente
.
Passo 3
Fazendo a substituição em
e, se quisermos expandir, note que
e
. Logo
Passo 4
Para o quarto momento ordinário usamos
Pela binomial:
e já conhecemos
,
e
. Basta substituir.
Passo 5
Substituindo obtemos
Expandindo parcialmente
e
, dá-se escrever
Passo 6
Para
muito grande, com
fixo em
, os termos de maior potência de
dominam. Assim
Em particular os momentos crescem como potências de
de ordem igual à própria ordem do momento.
Resposta
E[
] = N (N - 1) (N - 2) p^3 + 3 N (N - 1) p^2 + N p
E[
] = N (N - 1) (N - 2) (N - 3) p^4 + 6 N (N - 1) (N - 2) p^3 + 7 N (N - 1) p^2 + N p
Para N grande:
E[ ] \approx N^3 p^3,
E[ ] \approx N^4 p^4.
E[
E[