<p>Obtenha expressões para o terceiro e o quarto momentos de uma distribuição binomial. Como é que se comportam esses momentos para <svg xmlns:xlink=“http://www.w3.org/1999/xlink” width=“2.064ex” height=“2.176ex” style=“vertical-align: -0.338ex;” viewBox=“0 -791.3 888.5 936.9” role=“img” focusable=“false” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” aria-labelledby=“MathJax-SVG-1-Title” data-mathml="undefined">
<title> N</title>
<defs aria-hidden=“true”>
<path stroke-width=“1” id=“E1-MJMATHI-4E” d=“M234 637Q231 637 226 637Q201 637 196 638T191 649Q191 676 202 682Q204 683 299 683Q376 683 387 683T401 677Q612 181 616 168L670 381Q723 592 723 606Q723 633 659 637Q635 637 635 648Q635 650 637 660Q641 676 643 679T653 683Q656 683 684 682T767 680Q817 680 843 681T873 682Q888 682 888 672Q888 650 880 642Q878 637 858 637Q787 633 769 597L620 7Q618 0 599 0Q585 0 582 2Q579 5 453 305L326 604L261 344Q196 88 196 79Q201 46 268 46H278Q284 41 284 38T282 19Q278 6 272 0H259Q228 2 151 2Q123 2 100 2T63 2T46 1Q31 1 31 10Q31 14 34 26T39 40Q41 46 62 46Q130 49 150 85Q154 91 221 362L289 634Q287 635 234 637Z”/>
</defs>
<g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“matrix(1 0 0 -1 0 0)” aria-hidden=“true”>
<use xlink:href="#E1-MJMATHI-4E" x=“0” y=“0”/>
</g>
</svg> grande?</p>

Passo 1

<p>Fala, tudo tranquilo par aí?! </p>
<p>Fala! Tudo certo? Vamos encarar esse desafio de estatística. O enunciado pede para encontrarmos o <svg xmlns:xlink=“http://www.w3.org/1999/xlink” width=“2.579ex” height=“3.343ex” style=“vertical-align: -1.171ex;” viewBox=“0 -934.9 1110.5 1439.2” role=“img” focusable=“false” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” aria-labelledby=“MathJax-SVG-1-Title”>
<title> 3 º</title>
<defs aria-hidden=“true”>
<path stroke-width=“1” id=“E1-MJMAIN-33” d=“M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z”></path>
</defs>
<g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“matrix(1 0 0 -1 0 0)” aria-hidden=“true”>
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<g transform=“translate(500,0)”>
<text font-family=“monospace” font-style=“italic” font-weight=“bold” stroke=“none” transform=“scale(71.759) matrix(1 0 0 -1 0 0)”>º</text>
</g>
</g>
</svg><b> e o </b><svg xmlns:xlink=“http://www.w3.org/1999/xlink” width=“2.579ex” height=“3.343ex” style=“vertical-align: -1.171ex;” viewBox=“0 -934.9 1110.5 1439.2” role=“img” focusable=“false” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” aria-labelledby=“MathJax-SVG-1-Title”>
<title> 4 º</title>
<defs aria-hidden=“true”>
<path stroke-width=“1” id=“E1-MJMAIN-34” d=“M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 0H190V46H221Q241 46 248 46T265 48T279 53T286 61Q287 63 287 115V165H28V211L179 442Q332 674 334 675Q336 677 355 677H373L379 671V211H471V165H379V114Q379 73 379 66T385 54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z”></path>
</defs>
<g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“matrix(1 0 0 -1 0 0)” aria-hidden=“true”>
<use xlink:href="#E1-MJMAIN-34" x=“0” y=“0”></use>
<g transform=“translate(500,0)”>
<text font-family=“monospace” font-style=“italic” font-weight=“bold” stroke=“none” transform=“scale(71.759) matrix(1 0 0 -1 0 0)”>º</text>
</g>
</g>
</svg><b> momentos</b> de uma distribuição binomial e analisar o que rola com eles quando o número de ensaios (<svg xmlns:xlink=“http://www.w3.org/1999/xlink” width=“2.064ex” height=“2.176ex” style=“vertical-align: -0.338ex;” viewBox=“0 -791.3 888.5 936.9” role=“img” focusable=“false” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” aria-labelledby=“MathJax-SVG-1-Title”>
<title> N</title>
<defs aria-hidden=“true”>
<path stroke-width=“1” id=“E1-MJMATHI-4E” d=“M234 637Q231 637 226 637Q201 637 196 638T191 649Q191 676 202 682Q204 683 299 683Q376 683 387 683T401 677Q612 181 616 168L670 381Q723 592 723 606Q723 633 659 637Q635 637 635 648Q635 650 637 660Q641 676 643 679T653 683Q656 683 684 682T767 680Q817 680 843 681T873 682Q888 682 888 672Q888 650 880 642Q878 637 858 637Q787 633 769 597L620 7Q618 0 599 0Q585 0 582 2Q579 5 453 305L326 604L261 344Q196 88 196 79Q201 46 268 46H278Q284 41 284 38T282 19Q278 6 272 0H259Q228 2 151 2Q123 2 100 2T63 2T46 1Q31 1 31 10Q31 14 34 26T39 40Q41 46 62 46Q130 49 150 85Q154 91 221 362L289 634Q287 635 234 637Z”></path>
</defs>
<g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“matrix(1 0 0 -1 0 0)” aria-hidden=“true”>
<use xlink:href="#E1-MJMATHI-4E" x=“0” y=“0”></use>
</g>
</svg>) fica muito grande.</p>
<p>Prepare o café e vamos por partes!</p>
<p>O problema quer que a gente saia do básico (média e variância) e vá para os “momentos de ordem superior”.</p>
<ul>
<li>
<b>O que é pedido:</b> As fórmulas matemáticas para <svg xmlns:xlink=“http://www.w3.org/1999/xlink” width=“6.766ex” height=“3.343ex” style=“vertical-align: -1.005ex;” viewBox=“0 -1006.6 2913.2 1439.2” role=“img” focusable=“false” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” aria-labelledby=“MathJax-SVG-1-Title”>
<title> E [ X 3 ]</title>
<defs aria-hidden=“true”>
<path stroke-width=“1” id=“E1-MJMATHI-45” d=“M492 213Q472 213 472 226Q472 230 477 250T482 285Q482 316 461 323T364 330H312Q311 328 277 192T243 52Q243 48 254 48T334 46Q428 46 458 48T518 61Q567 77 599 117T670 248Q680 270 683 272Q690 274 698 274Q718 274 718 261Q613 7 608 2Q605 0 322 0H133Q31 0 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q146 66 215 342T285 622Q285 629 281 629Q273 632 228 634H197Q191 640 191 642T193 659Q197 676 203 680H757Q764 676 764 669Q764 664 751 557T737 447Q735 440 717 440H705Q698 445 698 453L701 476Q704 500 704 528Q704 558 697 578T678 609T643 625T596 632T532 634H485Q397 633 392 631Q388 629 386 622Q385 619 355 499T324 377Q347 376 372 376H398Q464 376 489 391T534 472Q538 488 540 490T557 493Q562 493 565 493T570 492T572 491T574 487T577 483L544 351Q511 218 508 216Q505 213 492 213Z”></path>
<path stroke-width=“1” id=“E1-MJMAIN-5B” d=“M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z”></path>
<path stroke-width=“1” id=“E1-MJMATHI-58” d=“M42 0H40Q26 0 26 11Q26 15 29 27Q33 41 36 43T55 46Q141 49 190 98Q200 108 306 224T411 342Q302 620 297 625Q288 636 234 637H206Q200 643 200 645T202 664Q206 677 212 683H226Q260 681 347 681Q380 681 408 681T453 682T473 682Q490 682 490 671Q490 670 488 658Q484 643 481 640T465 637Q434 634 411 620L488 426L541 485Q646 598 646 610Q646 628 622 635Q617 635 609 637Q594 637 594 648Q594 650 596 664Q600 677 606 683H618Q619 683 643 683T697 681T738 680Q828 680 837 683H845Q852 676 852 672Q850 647 840 637H824Q790 636 763 628T722 611T698 593L687 584Q687 585 592 480L505 384Q505 383 536 304T601 142T638 56Q648 47 699 46Q734 46 734 37Q734 35 732 23Q728 7 725 4T711 1Q708 1 678 1T589 2Q528 2 496 2T461 1Q444 1 444 10Q444 11 446 25Q448 35 450 39T455 44T464 46T480 47T506 54Q523 62 523 64Q522 64 476 181L429 299Q241 95 236 84Q232 76 232 72Q232 53 261 47Q262 47 267 47T273 46Q276 46 277 46T280 45T283 42T284 35Q284 26 282 19Q279 6 276 4T261 1Q258 1 243 1T201 2T142 2Q64 2 42 0Z”></path>
<path stroke-width=“1” id=“E1-MJMAIN-33” d=“M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z”></path>
<path stroke-width=“1” id=“E1-MJMAIN-5D” d=“M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z”></path>
<path stroke-width=“1” id=“E1-MJSZ1-5B” d=“M202 -349V850H394V810H242V-309H394V-349H202Z”></path>
<path stroke-width=“1” id=“E1-MJSZ1-5D” d=“M22 810V850H214V-349H22V-309H174V810H22Z”></path>
</defs>
<g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“matrix(1 0 0 -1 0 0)” aria-hidden=“true”>
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</g>
<use xlink:href="#E1-MJSZ1-5D" x=“2495” y="-1"></use>
</g>
</svg> e <svg xmlns:xlink=“http://www.w3.org/1999/xlink” width=“6.766ex” height=“3.343ex” style=“vertical-align: -1.005ex;” viewBox=“0 -1006.6 2913.2 1439.2” role=“img” focusable=“false” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” aria-labelledby=“MathJax-SVG-1-Title”>
<title> E [ X 4 ]</title>
<defs aria-hidden=“true”>
<path stroke-width=“1” id=“E1-MJMATHI-45” d=“M492 213Q472 213 472 226Q472 230 477 250T482 285Q482 316 461 323T364 330H312Q311 328 277 192T243 52Q243 48 254 48T334 46Q428 46 458 48T518 61Q567 77 599 117T670 248Q680 270 683 272Q690 274 698 274Q718 274 718 261Q613 7 608 2Q605 0 322 0H133Q31 0 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q146 66 215 342T285 622Q285 629 281 629Q273 632 228 634H197Q191 640 191 642T193 659Q197 676 203 680H757Q764 676 764 669Q764 664 751 557T737 447Q735 440 717 440H705Q698 445 698 453L701 476Q704 500 704 528Q704 558 697 578T678 609T643 625T596 632T532 634H485Q397 633 392 631Q388 629 386 622Q385 619 355 499T324 377Q347 376 372 376H398Q464 376 489 391T534 472Q538 488 540 490T557 493Q562 493 565 493T570 492T572 491T574 487T577 483L544 351Q511 218 508 216Q505 213 492 213Z”></path>
<path stroke-width=“1” id=“E1-MJMAIN-5B” d=“M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z”></path>
<path stroke-width=“1” id=“E1-MJMATHI-58” d=“M42 0H40Q26 0 26 11Q26 15 29 27Q33 41 36 43T55 46Q141 49 190 98Q200 108 306 224T411 342Q302 620 297 625Q288 636 234 637H206Q200 643 200 645T202 664Q206 677 212 683H226Q260 681 347 681Q380 681 408 681T453 682T473 682Q490 682 490 671Q490 670 488 658Q484 643 481 640T465 637Q434 634 411 620L488 426L541 485Q646 598 646 610Q646 628 622 635Q617 635 609 637Q594 637 594 648Q594 650 596 664Q600 677 606 683H618Q619 683 643 683T697 681T738 680Q828 680 837 683H845Q852 676 852 672Q850 647 840 637H824Q790 636 763 628T722 611T698 593L687 584Q687 585 592 480L505 384Q505 383 536 304T601 142T638 56Q648 47 699 46Q734 46 734 37Q734 35 732 23Q728 7 725 4T711 1Q708 1 678 1T589 2Q528 2 496 2T461 1Q444 1 444 10Q444 11 446 25Q448 35 450 39T455 44T464 46T480 47T506 54Q523 62 523 64Q522 64 476 181L429 299Q241 95 236 84Q232 76 232 72Q232 53 261 47Q262 47 267 47T273 46Q276 46 277 46T280 45T283 42T284 35Q284 26 282 19Q279 6 276 4T261 1Q258 1 243 1T201 2T142 2Q64 2 42 0Z”></path>
<path stroke-width=“1” id=“E1-MJMAIN-34” d=“M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 0H190V46H221Q241 46 248 46T265 48T279 53T286 61Q287 63 287 115V165H28V211L179 442Q332 674 334 675Q336 677 355 677H373L379 671V211H471V165H379V114Q379 73 379 66T385 54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z”></path>
<path stroke-width=“1” id=“E1-MJMAIN-5D” d=“M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z”></path>
<path stroke-width=“1” id=“E1-MJSZ1-5B” d=“M202 -349V850H394V810H242V-309H394V-349H202Z”></path>
<path stroke-width=“1” id=“E1-MJSZ1-5D” d=“M22 810V850H214V-349H22V-309H174V810H22Z”></path>
</defs>
<g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“matrix(1 0 0 -1 0 0)” aria-hidden=“true”>
<use xlink:href="#E1-MJMATHI-45" x=“0” y=“0”></use>
<use xlink:href="#E1-MJSZ1-5B" x=“764” y="-1"></use>
<g transform=“translate(1182,0)”>
<use xlink:href="#E1-MJMATHI-58" x=“0” y=“0”></use>
<use transform=“scale(0.707)” xlink:href="#E1-MJMAIN-34" x=“1215” y=“581”></use>
</g>
<use xlink:href="#E1-MJSZ1-5D" x=“2495” y="-1"></use>
</g>
</svg>.</li>
<li>
<b>Contexto:</b> Distribuição Binomial, onde temos <svg xmlns:xlink=“http://www.w3.org/1999/xlink” width=“2.064ex” height=“2.176ex” style=“vertical-align: -0.338ex;” viewBox=“0 -791.3 888.5 936.9” role=“img” focusable=“false” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” aria-labelledby=“MathJax-SVG-1-Title”>
<title> N</title>
<defs aria-hidden=“true”>
<path stroke-width=“1” id=“E1-MJMATHI-4E” d=“M234 637Q231 637 226 637Q201 637 196 638T191 649Q191 676 202 682Q204 683 299 683Q376 683 387 683T401 677Q612 181 616 168L670 381Q723 592 723 606Q723 633 659 637Q635 637 635 648Q635 650 637 660Q641 676 643 679T653 683Q656 683 684 682T767 680Q817 680 843 681T873 682Q888 682 888 672Q888 650 880 642Q878 637 858 637Q787 633 769 597L620 7Q618 0 599 0Q585 0 582 2Q579 5 453 305L326 604L261 344Q196 88 196 79Q201 46 268 46H278Q284 41 284 38T282 19Q278 6 272 0H259Q228 2 151 2Q123 2 100 2T63 2T46 1Q31 1 31 10Q31 14 34 26T39 40Q41 46 62 46Q130 49 150 85Q154 91 221 362L289 634Q287 635 234 637Z”></path>
</defs>
<g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“matrix(1 0 0 -1 0 0)” aria-hidden=“true”>
<use xlink:href="#E1-MJMATHI-4E" x=“0” y=“0”></use>
</g>
</svg> tentativas e uma probabilidade <svg xmlns:xlink=“http://www.w3.org/1999/xlink” width=“1.259ex” height=“2.009ex” style=“vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex;” viewBox="-38.5 -576.1 542 865.1" role=“img” focusable=“false” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” aria-labelledby=“MathJax-SVG-1-Title”>
<title> p</title>
<defs aria-hidden=“true”>
<path stroke-width=“1” id=“E1-MJMATHI-70” d=“M23 287Q24 290 25 295T30 317T40 348T55 381T75 411T101 433T134 442Q209 442 230 378L240 387Q302 442 358 442Q423 442 460 395T497 281Q497 173 421 82T249 -10Q227 -10 210 -4Q199 1 187 11T168 28L161 36Q160 35 139 -51T118 -138Q118 -144 126 -145T163 -148H188Q194 -155 194 -157T191 -175Q188 -187 185 -190T172 -194Q170 -194 161 -194T127 -193T65 -192Q-5 -192 -24 -194H-32Q-39 -187 -39 -183Q-37 -156 -26 -148H-6Q28 -147 33 -136Q36 -130 94 103T155 350Q156 355 156 364Q156 405 131 405Q109 405 94 377T71 316T59 280Q57 278 43 278H29Q23 284 23 287ZM178 102Q200 26 252 26Q282 26 310 49T356 107Q374 141 392 215T411 325V331Q411 405 350 405Q339 405 328 402T306 393T286 380T269 365T254 350T243 336T235 326L232 322Q232 321 229 308T218 264T204 212Q178 106 178 102Z”></path>
</defs>
<g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“matrix(1 0 0 -1 0 0)” aria-hidden=“true”>
<use xlink:href="#E1-MJMATHI-70" x=“0” y=“0”></use>
</g>
</svg> de sucesso.</li>
<li>
<b>Análise assintótica:</b> Quer saber o comportamento dessas fórmulas quando <svg xmlns:xlink=“http://www.w3.org/1999/xlink” width=“8.582ex” height=“2.176ex” style=“vertical-align: -0.338ex;” viewBox=“0 -791.3 3695.1 936.9” role=“img” focusable=“false” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” aria-labelledby=“MathJax-SVG-1-Title”>
<title> N →   ∞</title>
<defs aria-hidden=“true”>
<path stroke-width=“1” id=“E1-MJMATHI-4E” d=“M234 637Q231 637 226 637Q201 637 196 638T191 649Q191 676 202 682Q204 683 299 683Q376 683 387 683T401 677Q612 181 616 168L670 381Q723 592 723 606Q723 633 659 637Q635 637 635 648Q635 650 637 660Q641 676 643 679T653 683Q656 683 684 682T767 680Q817 680 843 681T873 682Q888 682 888 672Q888 650 880 642Q878 637 858 637Q787 633 769 597L620 7Q618 0 599 0Q585 0 582 2Q579 5 453 305L326 604L261 344Q196 88 196 79Q201 46 268 46H278Q284 41 284 38T282 19Q278 6 272 0H259Q228 2 151 2Q123 2 100 2T63 2T46 1Q31 1 31 10Q31 14 34 26T39 40Q41 46 62 46Q130 49 150 85Q154 91 221 362L289 634Q287 635 234 637Z”></path>
<path stroke-width=“1” id=“E1-MJMAIN-2192” d=“M56 237T56 250T70 270H835Q719 357 692 493Q692 494 692 496T691 499Q691 511 708 511H711Q720 511 723 510T729 506T732 497T735 481T743 456Q765 389 816 336T935 261Q944 258 944 250Q944 244 939 241T915 231T877 212Q836 186 806 152T761 85T740 35T732 4Q730 -6 727 -8T711 -11Q691 -11 691 0Q691 7 696 25Q728 151 835 230H70Q56 237 56 250Z”></path>
<path stroke-width=“1” id=“E1-MJMAIN-221E” d=“M55 217Q55 305 111 373T254 442Q342 442 419 381Q457 350 493 303L507 284L514 294Q618 442 747 442Q833 442 888 374T944 214Q944 128 889 59T743 -11Q657 -11 580 50Q542 81 506 128L492 147L485 137Q381 -11 252 -11Q166 -11 111 57T55 217ZM907 217Q907 285 869 341T761 397Q740 397 720 392T682 378T648 359T619 335T594 310T574 285T559 263T548 246L543 238L574 198Q605 158 622 138T664 94T714 61T765 51Q827 51 867 100T907 217ZM92 214Q92 145 131 89T239 33Q357 33 456 193L425 233Q364 312 334 337Q285 380 233 380Q171 380 132 331T92 214Z”></path>
</defs>
<g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“matrix(1 0 0 -1 0 0)” aria-hidden=“true”>
<use xlink:href="#E1-MJMATHI-4E" x=“0” y=“0”></use>
<use xlink:href="#E1-MJMAIN-2192" x=“1166” y=“0”></use>
<use xlink:href="#E1-MJMAIN-221E" x=“2694” y=“0”></use>
</g>
</svg>. Isso geralmente nos leva a pensar na aproximação pela Normal.</li>
</ul>
<p>Para não ficarmos perdidos nas contas, vamos relembrar o que é o quê:</p>
<ul>
<li>
<b>Distribuição Binomial:</b> Descreve o número de sucessos em <svg xmlns:xlink=“http://www.w3.org/1999/xlink” width=“2.064ex” height=“2.176ex” style=“vertical-align: -0.338ex;” viewBox=“0 -791.3 888.5 936.9” role=“img” focusable=“false” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” aria-labelledby=“MathJax-SVG-1-Title”>
<title> N</title>
<defs aria-hidden=“true”>
<path stroke-width=“1” id=“E1-MJMATHI-4E” d=“M234 637Q231 637 226 637Q201 637 196 638T191 649Q191 676 202 682Q204 683 299 683Q376 683 387 683T401 677Q612 181 616 168L670 381Q723 592 723 606Q723 633 659 637Q635 637 635 648Q635 650 637 660Q641 676 643 679T653 683Q656 683 684 682T767 680Q817 680 843 681T873 682Q888 682 888 672Q888 650 880 642Q878 637 858 637Q787 633 769 597L620 7Q618 0 599 0Q585 0 582 2Q579 5 453 305L326 604L261 344Q196 88 196 79Q201 46 268 46H278Q284 41 284 38T282 19Q278 6 272 0H259Q228 2 151 2Q123 2 100 2T63 2T46 1Q31 1 31 10Q31 14 34 26T39 40Q41 46 62 46Q130 49 150 85Q154 91 221 362L289 634Q287 635 234 637Z”></path>
</defs>
<g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“matrix(1 0 0 -1 0 0)” aria-hidden=“true”>
<use xlink:href="#E1-MJMATHI-4E" x=“0” y=“0”></use>
</g>
</svg> tentativas independentes.</li>
<li>
<b>Função Geradora de Momentos (MGF):</b> É a ferramenta “mágica” aqui. Para a Binomial, ela é definida como:</li>
</ul>
<p style=“text-align:center;”><svg xmlns:xlink=“http://www.w3.org/1999/xlink” width=“19.799ex” height=“3.676ex” style=“vertical-align: -1.005ex;” viewBox=“0 -1150.1 8524.4 1582.7” role=“img” focusable=“false” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” aria-labelledby=“MathJax-SVG-1-Title”>
<title> M X t = p e t + q N </title>
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Passo 2

<p>Primeira Derivada (Média):</p>
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<title> M ’ t = N p e t + q N - 1 ⋅ p e t </title>
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<title> t = 0 : E [ X ] = N ( p + q ) N - 1 ⋅ p = N p</title>
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Passo 3

<p>Derivando a expressão do segundo momento ou seguindo a lógica dos momentos fatoriais <svg xmlns:xlink=“http://www.w3.org/1999/xlink” width=“21.28ex” height=“2.843ex” style=“vertical-align: -0.838ex;” viewBox=“0 -863.1 9162.4 1223.9” role=“img” focusable=“false” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” aria-labelledby=“MathJax-SVG-1-Title”>
<title> E X X - 1 X - 2 :</title>
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<title> E X 3 = N 3 p 3 + 3 N 2 p 2 q + N p q q - p </title>
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<p>Aqui a conta cresce, mas seguindo o mesmo processo de derivação:</p>
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<title> E [ X 4 ]   =   N p [ 1   +   7 ( N - 1 ) p   +   6 N - 1 N - 2 p 2   +   N - 1 N - 2 N - 3 p 3 ]</title>
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<p>Se expandirmos isso focando nos termos de maior grau:</p>
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<title> E X 4 = N 4 p 4 + 6 N 3 p 3 q + N 2 11 p 2 q 2 - 4 p 2 q + …</title>
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<title> N</title>
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</svg> muito grande, os momentos brutos da Binomial se comportam como as potências da média</p>
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<title> E X = N p</title>
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Resposta

<p>Ver o desenvolvimento</p>

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