Considere uma distribuição binomial para o caminho aleatório em uma dimensão
e
.
(a) Trace um gráfico de
contra
.
(b) Obtenha a distribuição gaussiana correspondente,
(isto é, com os mesmos valores de
e
da binomial). Trace um gráfico de
contra
. Compare com os resultados do item anterior.
(c) Repita os itens (a) e (b) com
c
. Há modificações sensíveis?
(a) Trace um gráfico de
(b) Obtenha a distribuição gaussiana correspondente,
(c) Repita os itens (a) e (b) com
Passo 1
O enunciado nos coloca diante de uma variável aleatória
que segue uma distribuição binomial de parâmetros
(número de tentativas),
e
. Precisamos, para cada
dado,
- traçar o gráfico de
em função de
;
2. construir a gaussiana com os mesmos e
e traçar
2. construir a gaussiana com os mesmos
também contra
;
3. comparar as duas curvas e repetir os itens para e
.
3. comparar as duas curvas e repetir os itens para
Passo 2
Calcular a média e a variância da binomial. Para qualquer
:
No nosso caso
,
.
Passo 3
Aplicando a
:
logo
.
Passo 4
Escrever a gaussiana de aproximação:
Para plotar versus
, basta gerar para cada
o par
e
.
Passo 5
Procedimento de traçado (pode usar software ou planilha):
- montar vetor
; - calcular
; - calcular
pela fórmula binomial; - calcular
pela fórmula gaussiana; - plotar os dois conjuntos de pontos no mesmo eixo
.
Para, verifica-se que as duas curvas praticamente coincidem no miolo (em torno de ), com pequenas discrepâncias nas caudas, onde o binomial é mais “pouco contínuo”.
Passo 6
Repetindo para
:
A gaussiana ainda acompanha bem o binomial, mas já aparecem diferenças um pouco maiores nas extremidades.
Para
:
Aqui a distribuição binomial fica visivelmente discreta e ligeiramente assimétrica (skewed) porque
, e a gaussiana não captura bem essa discreção nem o leve viés.
Resposta
Para
a aproximação gaussiana é excelente no centro e falha levemente nas caudas. Para
ainda é razoável, mas já se notam desvios maiores. Para
as diferenças são sensíveis: o binomial mostra discreção e leve assimetria que a gaussiana não reproduz.