Considere uma distribuição binomial para o caminho aleatório em uma dimensão com N=60, p=2 / 3 e q=1-p=1 / 3.
(a) Trace um gráfico de PN(N1) contra N1 / N.
(b) Obtenha a distribuição gaussiana correspondente, pG(N1) (isto é, com os mesmos valores de lang<= N1rang<= e lang<= N1^2rang<= da binomial). Trace um gráfico de pG(N1) contra N1 / N. Compare com os resultados do item anterior.
(c) Repita os itens (a) e (b) com N=30 c N=15. Há modificações sensíveis?

Passo 1

O enunciado nos coloca diante de uma variável aleatória N1 que segue uma distribuição binomial de parâmetros N (número de tentativas), p=2/3 e q=1-p=1/3. Precisamos, para cada N dado,
  1. traçar o gráfico de
PN(N1)=Pr(N1)=binomNN1,p^N1,q^,N-N1
em função de x=N1/N;
2. construir a gaussiana com os mesmos lang<= N1rang<= e lang<= N1^2rang<= e traçar
pG(N1)=1raiz2pi,sigma^2expl[-(N1-lang<= N1rang<=)^22,sigma^2r]
também contra x=N1/N;
3. comparar as duas curvas e repetir os itens para N=30 e N=15.

Passo 2

Calcular a média e a variância da binomial. Para qualquer N:
lang<= N1rang<= = N,p, Var(N1)=N,p,q
No nosso caso p=2/3, q=1/3.

Passo 3

Aplicando a N=60:
lang<= N1rang<= = 60cdot23=40, Var(N1)=60cdot23cdot13=13,3,
logo sigmaapproxraiz13,33approx3,65.

Passo 4

Escrever a gaussiana de aproximação:
pG(N1) =1raiz2pi,N,p,q exp!l[-(N1-N,p)^22,N,p,qr]
Para plotar versus x=N1/N, basta gerar para cada N1=0,1,dots,N o par l(x,PN(N1)r) e l(x,pG(N1)r).

Passo 5

Procedimento de traçado (pode usar software ou planilha):
  1. montar vetor N1=0,1,dots,N;
  2. calcular x=N1/N;
  3. calcular PN(N1) pela fórmula binomial;
  4. calcular pG(N1) pela fórmula gaussiana;
  5. plotar os dois conjuntos de pontos no mesmo eixo x.
    Para N=60, verifica-se que as duas curvas praticamente coincidem no miolo (em torno de x=40/60approx0,667), com pequenas discrepâncias nas caudas, onde o binomial é mais “pouco contínuo”.

Passo 6

Repetindo para N=30:
lang<= N1rang<= =20, Var(N1)=6,667, sigmaapprox2,58
A gaussiana ainda acompanha bem o binomial, mas já aparecem diferenças um pouco maiores nas extremidades.
Para N=15:
lang<= N1rang<= =10, Var(N1)=3,333, sigmaapprox1,83
Aqui a distribuição binomial fica visivelmente discreta e ligeiramente assimétrica (skewed) porque pne1/2, e a gaussiana não captura bem essa discreção nem o leve viés.

Resposta

Para N=60 a aproximação gaussiana é excelente no centro e falha levemente nas caudas. Para N=30 ainda é razoável, mas já se notam desvios maiores. Para N=15 as diferenças são sensíveis: o binomial mostra discreção e leve assimetria que a gaussiana não reproduz.

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