A probabilidade de que um evento caracterizado pela probabilidade p ocorra n vezes num total de N tentativas é dada pela distribuição binomial,
W(n)=N!n!(N-n)! p^n(1-p)^N-n
Considere uma situação em que p seja pequeno ( p ll 1 ) e que, portanto, W(n) seja apreciavelmente diferente de zero apenas para n ll N. Nessas circunstâncias, mostre que
W(n) sim lambda^nn! exp (-lambda)
onde lambda=N p é o número médio de eventos. Esta ć a chamada distribuição de Poisson. Formule um problema estatístico que poderia ser resolvido cm termos dessa distribuição.

Passo 1

O enunciado dá a distribuição binomial
W(n)=N!n!(N-n)!p^n(1-p)^N-n,
com pll1 e nll N, e pede a forma assintótica quando lambda=Np é fixo. O conteúdo é a aproximação da binomial pela Poisson.

Passo 2

Para nll N vemos que
N!(N-n)!=N,(N-1)cdots(N-n+1)approx N^n,
pois cada fator N-k com 0<= k<n difere pouco de N.

Passo 3

Como pll1 e Np=lambda fixo, temos
(1-p)^N-n=(1-p)^N,(1-p)^-napprox e^-Npcdot1=e^-lambda,
já que (1-p)^Napprox e^-Np e (1-p)^-napprox1.

Passo 4

Substituindo em W(n) resulta
W(n)approxN^nn!,p^n,e^-lambda =(Np)^nn!e^-lambda =lambda^nn!e^-lambda,
que é a distribuição de Poisson.

Passo 5

Um exemplo de problema estatístico: contar o número de chamadas recebidas num call center em intervalos de tempo fixos, quando cada chamada é um evento raro ( pll1) mas há muitas oportunidades ( Ngg1). O número de chamadas então segue aproximadamente Poisson(lambda).

Resposta

A distribuição binomial se aproxima de
W(n)simlambda^nn!e^-lambda, lambda=Np
Um problema típico que usa essa Poisson é modelar o número de chamadas num call center em intervalos fixos.

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