A probabilidade de que um evento caracterizado pela probabilidade
ocorra
vezes num total de
tentativas é dada pela distribuição binomial,
Considere uma situação em que
seja pequeno (
) e que, portanto,
seja apreciavelmente diferente de zero apenas para
. Nessas circunstâncias, mostre que
onde
é o número médio de eventos. Esta ć a chamada distribuição de Poisson. Formule um problema estatístico que poderia ser resolvido cm termos dessa distribuição.
Passo 1
O enunciado dá a distribuição binomial
com
e
, e pede a forma assintótica quando
é fixo. O conteúdo é a aproximação da binomial pela Poisson.
Passo 2
Para
vemos que
pois cada fator
com
difere pouco de
.
Passo 3
Como
e
fixo, temos
já que
e
.
Passo 4
Substituindo em
resulta
que é a distribuição de Poisson.
Passo 5
Um exemplo de problema estatístico: contar o número de chamadas recebidas num call center em intervalos de tempo fixos, quando cada chamada é um evento raro (
) mas há muitas oportunidades (
). O número de chamadas então segue aproximadamente
.
Resposta
A distribuição binomial se aproxima de
Um problema típico que usa essa Poisson é modelar o número de chamadas num call center em intervalos fixos.