Dois bêbados começam a caminhar sobre uma linha reta, a partir da origem, dando passos de mesmo comprimento para a direita ou para a esquerda, com a mesma probabilidadc. Suponha que os passos dos dois sejam simultâneos. Ache a probabilidade de que eles se encontrem novamente depois de dar N passos.

Passo 1

O enunciado descreve dois passeios aleatórios simples unidimensionais Xn e Yn, ambos iniciando em zero e com passos independentes de mesmo comprimento para a direita ou para a esquerda, cada um com probabilidade 1/2. Queremos a probabilidade de encontro após N passos, isto é,
Pl(XN=YNr)
O conteúdo aqui é probabilidade em processos discretos e soma de distribuições multinomiais.

Passo 2

Repare que, por independência,
Pl(XN=YNr) =sumj=-N^NPl(XN=j e YN=jr) =sumj=-N^NPl(XN=jr),Pl(YN=jr)
Como XN e YN têm a mesma distribuição, isso é
sumj=-N^Nl[Pl(XN=jr)r]^2

Passo 3

Sabemos que em
Logo, ao substituir , temos

Passo 4

Usamos a identidade combinatória clássica
summ=0^NbinomNm^2 =binom2NN
Substituindo em cima, obtemos
Pl(XN=YNr) =14^N,binom2NN

Resposta

Pl(e<=s se encontram após (N) passosr) =binom2NN4^N ó

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