Dois bêbados começam a caminhar sobre uma linha reta, a partir da origem, dando passos de mesmo comprimento para a direita ou para a esquerda, com a mesma probabilidadc. Suponha que os passos dos dois sejam simultâneos. Ache a probabilidade de que eles se encontrem novamente depois de dar
passos.
Passo 1
O enunciado descreve dois passeios aleatórios simples unidimensionais
e
, ambos iniciando em zero e com passos independentes de mesmo comprimento para a direita ou para a esquerda, cada um com probabilidade
. Queremos a probabilidade de encontro após
passos, isto é,
O conteúdo aqui é probabilidade em processos discretos e soma de distribuições multinomiais.
Passo 2
Repare que, por independência,
Como
e
têm a mesma distribuição, isso é
Passo 3
Sabemos que em
Logo, ao substituir , temos
Passo 4
Usamos a identidade combinatória clássica
Substituindo em cima, obtemos