O campo elétrico em uma região do espaço oscila no tempo segundo a equação
. (A) Calcule a expressão para a variação no tempo da densidade de corrente de deslocamento.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um campo elétrico que está oscilando no tempo, dado pela equação
. Nosso objetivo aqui é calcular como a densidade de corrente de deslocamento varia com o tempo. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre corrente de deslocamento e como relacioná-la com o campo elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a densidade de corrente de deslocamento (
) está relacionada à taxa de variação do campo elétrico no tempo. A fórmula que liga esses conceitos é:
Aqui,
é a permissividade do vácuo, que tem um valor conhecido.
Passo 3
Vamos identificar o que temos na equação do enunciado e o que precisamos encontrar. Já temos
, e queremos encontrar
, ou seja, a derivada de
em relação ao tempo.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
em relação a
. A derivada de
é
. Assim, temos:
Simplificando isso:
Passo 5
Agora, substituímos
na equação da densidade de corrente de deslocamento:
Sabendo que
, podemos deixar a expressão final pronta.
Resposta
A variação no tempo da densidade de corrente de deslocamento é:
Simplificando: