Enunciado

O circuito da Fig. 32-30 é formado por uma chave S , uma fonte ideal de 12,0   V , um resistor de 20,0   M Ω e um capacitor cujo dielétrico é o ar. O capacitor tem placas paralelas circulares com 5,00   c m de raio, separadas por uma distância de 3,00   m m . No instante t = 0 , a chave S é fechada e o capacitor começa a se carregar. O campo elétrico entre as placas é uniforme. No instante t = 250   μ s , qual é o módulo do campo magnético no interior do capacitor, a uma distância radial de 3,00   c m ?

Passo 1

O problema fala de um circuito R C com uma fonte de corrente contínua em processo de carregamento. Sabemos que nessa situação, a corrente no circuito varia com o tempo é dada por

i = V R   e - t / R C

Como a corrente do circuito varia no tempo, podemos dizer que o campo entre as placas do capacitor também varia no tempo, fazendo aparecer uma corrente de deslocamento

i d = ε 0 d Φ E d t

Essa corrente é igual a corrente do circuito. Portanto,

i d = V R   e - t / R C

Passo 2

Essa corrente de deslocamento entre as placas do capacitor vai gerar um campo magnético. Para calcular esse campo, vamos usar a lei de Ampere:

∮ B → ⋅ d s → = μ 0 i d '

Note que i d ' é a corrente que atravessa a curva amperiana. Como, nesse caso, r < R , temos que

i d ' = i d   r R 2

Essa relação vem da análise da proporção entre as áreas: a corrente total corresponde à área total π R 2 e a corrente através da amperiana de raio r   corresponde à área π r 2 . Assim,

B ⋅ 2 π r = μ 0 i d   r R 2 ⇒ B = μ 0 i d r 2 π R 2

Cuida para não confundir os R .

Passo 3

A corrente é dada por

i d = V R   e - t / R C

Para calculá-la, vamos achar a capacitância. Como se trata de um capacitor de placas paralelas:

C = ε 0 A d

Temos que

A = π   5,00 ⋅ 10 - 2   m 2 = π ⋅ 25,0 ⋅ 10 - 4   m 2

Como d = 0,003   m , segue que

C = 2,32 ⋅ 10 - 11   F

Assim, com R = 20,0 ⋅ 10 6 , V = 12,0   V e t = 250 ⋅ 10 - 6   s , temos que

i d = 3,5 ⋅ 10 - 7   A

Portanto, com r = 3,00 ⋅ 10 - 2   m e R = 5,00 ⋅ 10 - 2   m , temos que

B = 8,4 ⋅ 10 - 13   T

Resposta

B = 8,4 ⋅ 10 - 13   T

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