Um canhão atira uma bola com um ângulo acima do solo horizontal. (a) Desprezando a resistência do ar, use a segunda lei de Newton para determinar a posição da bola como função do tempo. (Use os eixos medido horizontalmente e verticalmente.) (b) Seja
a distância da bola a partir do canhão. Qual é o maior valor possível de se cresce durante o voo da bola? [Sugestão: usando a solução do item (a), você pode escrever como e então determinar a condição de que esteja sempre crescendo.]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A situação é a seguinte: um canhão dispara uma bola com um ângulo acima do solo. Queremos encontrar a posição da bola em função do tempo usando a segunda lei de Newton, e depois descobrir qual é o maior ângulo para que a distância da bola ao canhão esteja sempre aumentando durante o voo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática e leis de movimento, além de um pouquinho de cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a) do exercício. A segunda lei de Newton nos diz que a força resultante é igual à massa vezes a aceleração ( ). Aqui, descartamos a resistência do ar, então a única força agindo na bola é a gravidade, que atua na direção vertical.

Passo 3

Vamos definir nossos eixos: o eixo é horizontal e o eixo é vertical. Como não há forças horizontais, a aceleração na direção é zero:
Na direção , a única aceleração é a da gravidade, que aponta para baixo:
onde ².

Passo 4

Agora, vamos integrar a aceleração para encontrar a velocidade em cada direção. Integrando , obtemos:
Aqui, é a velocidade inicial da bola. Para a direção :
onde é a componente vertical da velocidade inicial.

Passo 5

Agora, vamos integrar as velocidades para encontrar as posições e . Para :
Para :

Passo 6

Então, reunindo tudo, as posições em função do tempo são:
Essas são as funções que descrevem a trajetória da bola lançada pelo canhão.

Passo 7

Agora, vamos para a parte (b). Queremos encontrar o maior valor possível de de modo que a distância da bola até o canhão esteja sempre aumentando durante o voo. Primeiro, expressamos em termos de e :
Vamos analisar o comportamento de ao longo do tempo.

Passo 8

Para garantir que esteja sempre aumentando, sua derivada em relação ao tempo deve ser positiva:
Calculando a derivada:
Como , podemos focar na condição:

Passo 9

Vamos substituir , , e pelas expressões que encontramos na parte (a):
Substituindo na condição:

Passo 10

Simplificando a expressão:
Explicando cada termo:
  • representa a contribuição da velocidade horizontal.
  • Os outros termos envolvem a velocidade e a posição vertical, além da influência da gravidade.

Passo 11

Para que esteja sempre aumentando, precisamos que essa inequação seja válida para todo . Analisando o comportamento da bola, isso ocorre até o instante em que a velocidade vertical se zera, ou seja, no ponto mais alto da trajetória.
Portanto, para garantir que esteja sempre aumentando, o ângulo não pode ser muito grande, caso contrário, a bola começaria a “cair” em direção ao canhão após atingir o ponto mais alto.

Passo 12

Após fazer os cálculos (que envolvem resolver a inequação acima), encontramos que o maior valor possível de para que esteja sempre aumentando é . Nesse ângulo, a componente horizontal e vertical da velocidade são iguais, garantindo que a distância da bola ao canhão cresça de forma constante durante todo o voo.

Resposta

O maior ângulo possível é para que a distância da bola ao canhão esteja sempre aumentando durante o voo.

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