Mostre que o produto vetorial
, como definido em (1.9), é distributivo, isto é, que
.
Passo 1
Beleza, vamos encarar esse exercício juntos! A questão pede para a gente mostrar que o produto vetorial
é distributivo. Isso significa provar que
. Para isso, vamos usar as propriedades do produto vetorial e as definições básicas de álgebra vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores
e
é outro vetor
que é perpendicular a ambos
e
. Em termos coordenados, se
e
, então:
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição para expandir o lado esquerdo da equação que queremos provar:
. Suponha que
e
. Então,
.
Passo 4
Calculando o produto vetorial
:
Passo 5
Vamos distribuir os termos dentro de cada componente:
Passo 6
Agora, vamos agrupar os termos correspondentes aos produtos vetoriais individuais
e
:
Passo 7
Perceba que cada grupo de termos corresponde exatamente ao produto vetorial
e
:
Resposta
Então, mostramos que
. Isso confirma que o produto vetorial é distributivo em relação à adição de vetores.