Mostre que o produto vetorial , como definido em (1.9), é distributivo, isto é, que .

Passo 1

Beleza, vamos encarar esse exercício juntos! A questão pede para a gente mostrar que o produto vetorial é distributivo. Isso significa provar que . Para isso, vamos usar as propriedades do produto vetorial e as definições básicas de álgebra vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores e é outro vetor que é perpendicular a ambos e . Em termos coordenados, se e , então:

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição para expandir o lado esquerdo da equação que queremos provar: . Suponha que e . Então, .

Passo 4

Calculando o produto vetorial :

Passo 5

Vamos distribuir os termos dentro de cada componente:

Passo 6

Agora, vamos agrupar os termos correspondentes aos produtos vetoriais individuais e :

Passo 7

Perceba que cada grupo de termos corresponde exatamente ao produto vetorial e :

Resposta

Então, mostramos que . Isso confirma que o produto vetorial é distributivo em relação à adição de vetores.

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