Definindo o produto escalar pela Equação , mostre que o teorema de Pitágoras implica que a magnitude de qualquer vetor é . (b) Está claro que o comprimento de um vetor não depende da escolha dos eixos coordenados. Logo, o resultado do item (a) garante que o produto escalar , como definido em (1.7), é o mesmo para qualquer escolha de eixos ortogonais. Use isso para mostrar que , como definido em (1.7), é o mesmo para qualquer escolha de eixos ortogonais. [Sugestão: considere o comprimento do vetor .]

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que trabalhar com o produto escalar, que é uma forma de multiplicar dois vetores. A partir disso, queremos mostrar duas coisas:
(a) A magnitude (ou tamanho) de um vetor é igual à raiz quadrada do produto escalar dele consigo mesmo, ou seja, .
(b) O produto escalar não muda se a gente trocar o sistema de eixos coordenados, desde que eles sejam ortogonais (perpendiculares). Para isso, vamos usar o comprimento do vetor .
Vamos precisar entender:
  • O que é produto escalar.
  • Como o Teorema de Pitágoras se relaciona com o produto escalar.
  • A ideia de sistemas de eixos ortogonais.

Passo 2

Primeiro, vamos focar no item (a). Queremos mostrar que a magnitude de é .
Sabemos que a magnitude de um vetor é dada por:
Por outro lado, o produto escalar de com ele mesmo é:
Então, temos que:
Isso mostra que a magnitude do vetor é igual à raiz quadrada do produto escalar dele consigo mesmo, conforme queríamos.

Passo 3

Agora, vamos para o item (b). Precisamos mostrar que o produto escalar é o mesmo independente da escolha dos eixos ortogonais.
A dica é considerar o comprimento do vetor . Vamos calcular a magnitude desse vetor usando o que já sabemos.
Sabemos que:
Expandindo o produto escalar:
Então:
Mas a magnitude não depende do sistema de eixos escolhido, desde que sejam ortogonais. Isso significa que a expressão acima deve se manter a mesma em qualquer sistema de eixos ortogonais.
Como e já mostramos que são iguais às magnitudes ao quadrado, e a magnitude de também é invariante, isso implica que deve ser invariante. Portanto, o produto escalar é o mesmo em qualquer sistema de eixos ortogonais.

Resposta

(a) A magnitude de qualquer vetor é .
(b) O produto escalar é o mesmo para qualquer escolha de eixos ortogonais.

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