Definindo o produto escalar
pela Equação
, mostre que o teorema de Pitágoras implica que a magnitude de qualquer vetor
é
. (b) Está claro que o comprimento de um vetor não depende da escolha dos eixos coordenados. Logo, o resultado do item (a) garante que o produto escalar
, como definido em (1.7), é o mesmo para qualquer escolha de eixos ortogonais. Use isso para mostrar que
, como definido em (1.7), é o mesmo para qualquer escolha de eixos ortogonais. [Sugestão: considere o comprimento do vetor
.]
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que trabalhar com o produto escalar, que é uma forma de multiplicar dois vetores. A partir disso, queremos mostrar duas coisas:
(a) A magnitude (ou tamanho) de um vetor é igual à raiz quadrada do produto escalar dele consigo mesmo, ou seja,
.
(b) O produto escalar não muda se a gente trocar o sistema de eixos coordenados, desde que eles sejam ortogonais (perpendiculares). Para isso, vamos usar o comprimento do vetor
.
(a) A magnitude (ou tamanho) de um vetor
(b) O produto escalar
Vamos precisar entender:
- O que é produto escalar.
- Como o Teorema de Pitágoras se relaciona com o produto escalar.
- A ideia de sistemas de eixos ortogonais.
Passo 2
Primeiro, vamos focar no item (a). Queremos mostrar que a magnitude de
é
.
Sabemos que a magnitude de um vetor
é dada por:
Por outro lado, o produto escalar de
com ele mesmo é:
Então, temos que:
Isso mostra que a magnitude do vetor
é igual à raiz quadrada do produto escalar dele consigo mesmo, conforme queríamos.
Passo 3
Agora, vamos para o item (b). Precisamos mostrar que o produto escalar
é o mesmo independente da escolha dos eixos ortogonais.
A dica é considerar o comprimento do vetor
. Vamos calcular a magnitude desse vetor usando o que já sabemos.
Sabemos que:
Expandindo o produto escalar:
Então:
Mas a magnitude
não depende do sistema de eixos escolhido, desde que sejam ortogonais. Isso significa que a expressão acima deve se manter a mesma em qualquer sistema de eixos ortogonais.
Como
e
já mostramos que são iguais às magnitudes ao quadrado, e a magnitude de
também é invariante, isso implica que
deve ser invariante. Portanto, o produto escalar
é o mesmo em qualquer sistema de eixos ortogonais.
Resposta
(a) A magnitude de qualquer vetor
é
.
(b) O produto escalar é o mesmo para qualquer escolha de eixos ortogonais.
(b) O produto escalar