Certas estrelas frias (chamadas anãs brancas) são estabilizadas contra o colapso gravitacional pela pressão de degenerescência de seus elétrons (Equação 5.46). Considerando uma densidade constante, o raio
de tal objeto pode ser calculado da seguinte forma:
(a) Escreva a energia total do elétron (Equação 5.45) em termos do raio, do número de núcleons (prótons e nêutrons)
, do número de elétrons por núcleon
e da massa do elétron
.
(a) Escreva a energia total do elétron (Equação 5.45) em termos do raio, do número de núcleons (prótons e nêutrons)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado tá falando sobre as anãs brancas, que são estrelas bem frias sustentadas pela pressão de degenerescência dos elétrons. Basicamente, precisamos escrever a energia total desses elétrons em função do raio da estrela (
), do número de núcleons (
), do número de elétrons por núcleon (
) e da massa do elétron (
). Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre energia de elétrons em física estelar.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na energia total dos elétrons. Essa energia vem principalmente da energia cinética dos elétrons degenerados, que é resultado da pressão de degenerescência que impede o colapso da estrela. A energia cinética de cada elétron depende da sua massa (
) e do espaço que ele ocupa, que está relacionado ao raio da estrela (
).
Passo 3
Sabendo que a densidade é constante, podemos relacionar o volume da estrela com o número total de núcleons. O volume
de uma esfera é dado por:
Como temos
núcleons e cada núcleo tem
elétrons, o número total de elétrons é
. A densidade
é então:
Passo 4
Agora, para encontrar a energia total dos elétrons, consideramos que cada elétron tem uma energia proporcional à sua massa e ao inverso do raio ao quadrado (pela relação da energia cinética em confinamento):
Multiplicando pela quantidade total de elétrons (
), temos a energia total dos elétrons:
Resposta
A energia total dos elétrons é dada por: