Certas estrelas frias (chamadas anãs brancas) são estabilizadas contra o colapso gravitacional pela pressão de degenerescência de seus elétrons (Equação 5.46). Considerando uma densidade constante, o raio de tal objeto pode ser calculado da seguinte forma:
(a) Escreva a energia total do elétron (Equação 5.45) em termos do raio, do número de núcleons (prótons e nêutrons) , do número de elétrons por núcleon e da massa do elétron .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado tá falando sobre as anãs brancas, que são estrelas bem frias sustentadas pela pressão de degenerescência dos elétrons. Basicamente, precisamos escrever a energia total desses elétrons em função do raio da estrela ( ), do número de núcleons ( ), do número de elétrons por núcleon ( ) e da massa do elétron ( ). Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre energia de elétrons em física estelar.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na energia total dos elétrons. Essa energia vem principalmente da energia cinética dos elétrons degenerados, que é resultado da pressão de degenerescência que impede o colapso da estrela. A energia cinética de cada elétron depende da sua massa ( ) e do espaço que ele ocupa, que está relacionado ao raio da estrela ( ).

Passo 3

Sabendo que a densidade é constante, podemos relacionar o volume da estrela com o número total de núcleons. O volume de uma esfera é dado por:
Como temos núcleons e cada núcleo tem elétrons, o número total de elétrons é . A densidade é então:

Passo 4

Agora, para encontrar a energia total dos elétrons, consideramos que cada elétron tem uma energia proporcional à sua massa e ao inverso do raio ao quadrado (pela relação da energia cinética em confinamento):
é
Multiplicando pela quantidade total de elétrons ( ), temos a energia total dos elétrons:

Resposta

A energia total dos elétrons é dada por:

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