Certas estrelas frias (chamadas anãs brancas) são estabilizadas contra o colapso gravitacional pela pressão de degenerescência de seus elétrons (Equação 5.46). Considerando uma densidade constante, o raio
de tal objeto pode ser calculado da seguinte forma:
(d) Determine o raio, em quilômetros, de uma anã branca com a massa do Sol.
(d) Determine o raio, em quilômetros, de uma anã branca com a massa do Sol.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma anã branca, que é uma estrela fria sustentada pela pressão de degenerescência dos elétrons. Queremos descobrir o raio dessa anã branca, em quilômetros, sabendo que sua massa é igual à do Sol. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de física estelar, especialmente relacionados à pressão de degenerescência e à relação entre massa e raio em anãs brancas de densidade constante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a massa
de uma esfera de densidade constante
é dada por:
Onde
é o raio da esfera.
Passo 3
Queremos encontrar o raio
, então vamos rearranjar a fórmula para isolá-lo:
Essa fórmula nos permite calcular o raio se conhecermos a massa e a densidade da anã branca.
Passo 4
Agora, precisamos definir a densidade
da anã branca. Geralmente, anãs brancas têm uma densidade extremamente alta, em torno de
. Vamos usar esse valor para nosso cálculo.
Passo 5
Substituindo os valores conhecidos na fórmula:
Passo 6
Vamos calcular a parte interna da fórmula primeiro:
Passo 7
Agora, tiramos a raiz cúbica desse valor para encontrar
:
Passo 8
Convertendo metros para quilômetros:
Resposta
O raio de uma anã branca com a massa do Sol é aproximadamente
quilômetros.