Certas estrelas frias (chamadas anãs brancas) são estabilizadas contra o colapso gravitacional pela pressão de degenerescência de seus elétrons (Equação 5.46). Considerando uma densidade constante, o raio
de tal objeto pode ser calculado da seguinte forma:
(b) Procure, ou calcule, a energia gravitacional de uma esfera uniformemente densa. Expresse sua resposta em termos de G (a constante de gravitação universal),
e
(massa de um núcleo). Observe que a energia gravitacional é negativa.
(b) Procure, ou calcule, a energia gravitacional de uma esfera uniformemente densa. Expresse sua resposta em termos de G (a constante de gravitação universal),
Passo 1
Beleza, vamos resolver a parte (b) do exercício que pede para calcular a energia gravitacional de uma esfera com densidade uniforme. A gente vai precisar usar conceitos de gravitação, especificamente a energia potencial gravitacional, e vamos expressar tudo em termos de
(a constante gravitacional universal),
(o raio da esfera),
(número de núcleos) e
(massa de um núcleo). Lembrando que a energia gravitacional é negativa porque ela representa a energia necessária para separar as partes da esfera contra a atração gravitacional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a energia potencial gravitacional
de uma esfera de massa
e raio
. Para uma esfera de densidade uniforme, a energia gravitacional é dada por:
Aqui, o sinal negativo indica que é uma energia de ligação, ou seja, a energia necessária para manter a esfera unida contra a gravidade.
Passo 3
Agora, precisamos expressar a massa total
em termos de
e
. Se
é o número de núcleos e
é a massa de cada núcleo, então a massa total é:
Passo 4
Substituindo
na expressão da energia gravitacional, temos:
Passo 5
Simplificando a expressão, chegamos à forma final da energia gravitacional em termos de
,
,
e
:
Resposta
A energia gravitacional da esfera é: