Certas estrelas frias (chamadas anãs brancas) são estabilizadas contra o colapso gravitacional pela pressão de degenerescência de seus elétrons (Equação 5.46). Considerando uma densidade constante, o raio de tal objeto pode ser calculado da seguinte forma:
(b) Procure, ou calcule, a energia gravitacional de uma esfera uniformemente densa. Expresse sua resposta em termos de G (a constante de gravitação universal), e (massa de um núcleo). Observe que a energia gravitacional é negativa.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte (b) do exercício que pede para calcular a energia gravitacional de uma esfera com densidade uniforme. A gente vai precisar usar conceitos de gravitação, especificamente a energia potencial gravitacional, e vamos expressar tudo em termos de (a constante gravitacional universal), (o raio da esfera), (número de núcleos) e (massa de um núcleo). Lembrando que a energia gravitacional é negativa porque ela representa a energia necessária para separar as partes da esfera contra a atração gravitacional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a energia potencial gravitacional de uma esfera de massa e raio . Para uma esfera de densidade uniforme, a energia gravitacional é dada por:
Aqui, o sinal negativo indica que é uma energia de ligação, ou seja, a energia necessária para manter a esfera unida contra a gravidade.

Passo 3

Agora, precisamos expressar a massa total em termos de e . Se é o número de núcleos e é a massa de cada núcleo, então a massa total é:

Passo 4

Substituindo na expressão da energia gravitacional, temos:

Passo 5

Simplificando a expressão, chegamos à forma final da energia gravitacional em termos de , , e :

Resposta

A energia gravitacional da esfera é:

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