Imagine duas partículas não interagentes, cada uma de massa , no potencial do oscilador harmônico unidimensional (Equação 2.43). Se uma estiver no estado fundamental e a outra estiver no primeiro estado excitado, calcule , supondo (b) que elas sejam bósons idênticos

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas partículas que não interagem entre si, cada uma com massa , num potencial de oscilador harmônico unidimensional. Uma está no estado fundamental (a mais baixa energia) e a outra no primeiro estado excitado (a próxima energia). Nosso objetivo é calcular a esperança do quadrado da diferença das posições delas, , assumindo que elas são bósons idênticos. Para resolver isso, vamos precisar entender estados básicos de partículas em osciladores harmônicos, como calcular expectativas e considerar a simetrização da função de onda para bósons.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma partícula no oscilador harmônico, os estados de energia são descritos pelas funções de onda de Hermite, , onde é o número quântico. O estado fundamental é e o primeiro estado excitado é .

Passo 3

Como as partículas são bósons idênticos, a função de onda total precisa ser simétrica em relação à troca das partículas. Ou seja, se trocarmos por , a função de onda deve permanecer a mesma.

Passo 4

A função de onda simétrica para as duas partículas é dada por:
Isso garante que a função seja simétrica sob troca de e .

Passo 5

Agora, queremos calcular . Vamos expandir isso:
Devido à simetria, , então precisamos calcular para cada partícula e .

Passo 6

Para o oscilador harmônico, sabemos que:
Então, para :
E para :

Passo 7

Agora, calculamos para cada partícula. Como uma está no estado e a outra em , temos:
Portanto:

Passo 8

Para , precisamos integrar a função de onda simétrica:
Após simplificar usando as propriedades das funções de Hermite e a simetria, encontramos que:
Isso porque os estados e são ortogonais.

Passo 9

Então, juntando tudo:

Resposta

A esperança de para as duas bósons idênticos é .

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