Imagine duas partículas não interagentes, cada uma de massa
, no potencial do oscilador harmônico unidimensional (Equação 2.43). Se uma estiver no estado fundamental e a outra estiver no primeiro estado excitado, calcule
, supondo (b) que elas sejam bósons idênticos
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas partículas que não interagem entre si, cada uma com massa
, num potencial de oscilador harmônico unidimensional. Uma está no estado fundamental (a mais baixa energia) e a outra no primeiro estado excitado (a próxima energia). Nosso objetivo é calcular a esperança do quadrado da diferença das posições delas,
, assumindo que elas são bósons idênticos. Para resolver isso, vamos precisar entender estados básicos de partículas em osciladores harmônicos, como calcular expectativas e considerar a simetrização da função de onda para bósons.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma partícula no oscilador harmônico, os estados de energia são descritos pelas funções de onda de Hermite,
, onde
é o número quântico. O estado fundamental é
e o primeiro estado excitado é
.
Passo 3
Como as partículas são bósons idênticos, a função de onda total precisa ser simétrica em relação à troca das partículas. Ou seja, se trocarmos
por
, a função de onda deve permanecer a mesma.
Passo 4
A função de onda simétrica para as duas partículas é dada por:
Isso garante que a função seja simétrica sob troca de
e
.
Passo 5
Agora, queremos calcular
. Vamos expandir isso:
Devido à simetria,
, então precisamos calcular
para cada partícula e
.
Passo 6
Para o oscilador harmônico, sabemos que:
Então, para
:
E para
:
Passo 7
Agora, calculamos
para cada partícula. Como uma está no estado
e a outra em
, temos:
Portanto:
Passo 8
Para
, precisamos integrar a função de onda simétrica:
Após simplificar usando as propriedades das funções de Hermite e a simetria, encontramos que:
Isso porque os estados
e
são ortogonais.
Passo 9
Então, juntando tudo:
Resposta
A esperança de
para as duas bósons idênticos é
.