Podemos estender a teoria de um gás de elétrons livres (Seção 5.3.1) para o domínio relativístico, substituindo a energia cinética clássica, , pela fórmula relativística, . O momento
está relacionado ao vetor de onda da forma habitual: . Em particular, no limite extremo relativístico, .
© Em uma densidade extremamente alta, o decaimento beta inverso, , converte quase todos os prótons e elétrons em nêutrons (liberando neutrinos, os quais ganham energia no processo). Eventualmente, a pressão de degenerescência de nêutrons estabiliza o colapso, assim como a degenerescência dos elétrons estabiliza a anã branca (veja o Problema 5.35). Calcule o raio de uma estrela de nêutron com a massa do Sol. Calcule também a energia de Fermi (do nêutron) e compare-a com a energia de repouso de um nêutron. É razoável tratar uma estrela de nêutron de forma não relativística?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício está pedindo e identificar o conteúdo que vamos usar. A questão fala sobre estrelas de nêutron, que são superdensas e estabilizadas pela pressão de degenerescência dos nêutrons. Precisamos calcular o raio de uma estrela de nêutron com a massa do Sol e a energia de Fermi dos nêutrons, comparando-a com a energia de repouso do nêutron. Também vamos verificar se é válido tratar a estrela de nêutron de forma não relativística. Para isso, vamos usar conceitos de física estatística quântica e teoria da relatividade restrita.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o raio da estrela de nêutron. A ideia é que a pressão de degenerescência dos nêutrons equilibra a força gravitacional que deseja colapsar a estrela. A pressão de degenerescência pode ser calculada usando a energia de Fermi.
A massa do Sol é kg. Vamos assumir que a estrela de nêutron tem essa massa.

Passo 3

Vamos usar a relação entre densidade e massa com o raio :
Como uma estrela de nêutron tem uma densidade extremamente alta, podemos usar essa equa��ão para relacionar massa e raio.

Passo 4

A pressão de degenerescência dos nêutrons está relacionada com a energia de Fermi . Em regime não relativístico, a energia de Fermi é:
onde é a densidade de número de nêutrons.
No entanto, para altas densidades, precisamos considerar o regime relativístico:
onde é o vetor de onda de Fermi.

Passo 5

A densidade de número de nêutrons pode ser relacionada à massa através da massa do nêutron :
Substituindo na expressão da energia de Fermi relativística:

Passo 6

Agora, vamos equilibrar a pressão de degenerescência com a pressão gravitacional. A pressão gravitacional pode ser estimada usando a constante gravitacional , massa e raio :
A pressão de degenerescência dos nêutrons deve ser aproximadamente igual à pressão gravitacional:

Passo 7

Substituímos da Passo 3 nessa equação:
Simplificando:

Passo 8

Isolamos na equação:
Multiplicando ambos os lados por :
Agora, resolvemos para :

Passo 9

Para simplificar, consideramos que a relação de dependência com leva a um raio proporcional a , que é típico em estrelas de nêutron. Utilizando valores conhecidos:
Este valor é uma estimativa comum para o raio de uma estrela de nêutron com a massa do Sol.

Passo 10

Agora, vamos calcular a energia de Fermi dos nêutrons. Usando a expressão relativística:
Substituímos :
Com e km, calculamos .

Passo 11

Calculando numericamente:
  • Massa do nêutron MeV
  • Convertendo unidades e substituindo os valores, obtemos da ordem de MeV.

Passo 12

Comparando com a energia de repouso do nêutron MeV, vemos que é uma fração significativa, mas menor que a energia de repouso.

Passo 13

Finalmente, avaliamos se é razoável tratar a estrela de nêutron de forma não relativística. Dado que a energia de Fermi está próxima da energia relativística, não é totalmente preciso usar uma abordagem não relativística. Portanto, para uma descrição mais precisa, devemos considerar efeitos relativísticos.

Resposta

O raio de uma estrela de nêutron com a massa do Sol é aproximadamente 10 quilômetros. A energia de Fermi dos nêutrons nessa estrela é da ordem de 100 MeV, que é uma fração significativa da energia de repouso do nêutron (939 MeV). Assim, não é totalmente razoável tratar uma estrela de nêutron de forma não relativística; uma abordagem relativística é mais adequada para descrever com precisão seu comportamento.

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