Podemos estender a teoria de um gás de elétrons livres (Seção 5.3.1) para o domínio relativístico, substituindo a energia cinética clássica,
, pela fórmula relativística,
. O momento
está relacionado ao vetor de onda da forma habitual:
. Em particular, no limite extremo relativístico,
.
© Em uma densidade extremamente alta, o decaimento beta inverso,
, converte quase todos os prótons e elétrons em nêutrons (liberando neutrinos, os quais ganham energia no processo). Eventualmente, a pressão de degenerescência de nêutrons estabiliza o colapso, assim como a degenerescência dos elétrons estabiliza a anã branca (veja o Problema 5.35). Calcule o raio de uma estrela de nêutron com a massa do Sol. Calcule também a energia de Fermi (do nêutron) e compare-a com a energia de repouso de um nêutron. É razoável tratar uma estrela de nêutron de forma não relativística?
está relacionado ao vetor de onda da forma habitual:
© Em uma densidade extremamente alta, o decaimento beta inverso,
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o exercício está pedindo e identificar o conteúdo que vamos usar. A questão fala sobre estrelas de nêutron, que são superdensas e estabilizadas pela pressão de degenerescência dos nêutrons. Precisamos calcular o raio de uma estrela de nêutron com a massa do Sol e a energia de Fermi dos nêutrons, comparando-a com a energia de repouso do nêutron. Também vamos verificar se é válido tratar a estrela de nêutron de forma não relativística. Para isso, vamos usar conceitos de física estatística quântica e teoria da relatividade restrita.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o raio da estrela de nêutron. A ideia é que a pressão de degenerescência dos nêutrons equilibra a força gravitacional que deseja colapsar a estrela. A pressão de degenerescência pode ser calculada usando a energia de Fermi.
A massa do Sol é
kg. Vamos assumir que a estrela de nêutron tem essa massa.
Passo 3
Vamos usar a relação entre densidade
e massa
com o raio
:
Como uma estrela de nêutron tem uma densidade extremamente alta, podemos usar essa equa��ão para relacionar massa e raio.
Passo 4
A pressão de degenerescência dos nêutrons
está relacionada com a energia de Fermi
. Em regime não relativístico, a energia de Fermi é:
onde
é a densidade de número de nêutrons.
No entanto, para altas densidades, precisamos considerar o regime relativístico:
onde
é o vetor de onda de Fermi.
Passo 5
A densidade de número de nêutrons
pode ser relacionada à massa através da massa do nêutron
:
Substituindo na expressão da energia de Fermi relativística:
Passo 6
Agora, vamos equilibrar a pressão de degenerescência com a pressão gravitacional. A pressão gravitacional pode ser estimada usando a constante gravitacional
, massa
e raio
:
A pressão de degenerescência dos nêutrons deve ser aproximadamente igual à pressão gravitacional:
Passo 7
Substituímos
da Passo 3 nessa equação:
Simplificando:
Passo 8
Isolamos
na equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Agora, resolvemos para
:
Passo 9
Para simplificar, consideramos que a relação de dependência com
leva a um raio proporcional a
, que é típico em estrelas de nêutron. Utilizando valores conhecidos:
Este valor é uma estimativa comum para o raio de uma estrela de nêutron com a massa do Sol.
Passo 10
Agora, vamos calcular a energia de Fermi dos nêutrons. Usando a expressão relativística:
Substituímos
:
Com
e
km, calculamos
.
Passo 11
Calculando numericamente:
-
- Massa do nêutron
MeV - Convertendo unidades e substituindo os valores, obtemos
da ordem de MeV.
Passo 12
Comparando com a energia de repouso do nêutron
MeV, vemos que
é uma fração significativa, mas menor que a energia de repouso.
Passo 13
Finalmente, avaliamos se é razoável tratar a estrela de nêutron de forma não relativística. Dado que a energia de Fermi está próxima da energia relativística, não é totalmente preciso usar uma abordagem não relativística. Portanto, para uma descrição mais precisa, devemos considerar efeitos relativísticos.
Resposta
O raio de uma estrela de nêutron com a massa do Sol é aproximadamente 10 quilômetros. A energia de Fermi dos nêutrons nessa estrela é da ordem de 100 MeV, que é uma fração significativa da energia de repouso do nêutron (939 MeV). Assim, não é totalmente razoável tratar uma estrela de nêutron de forma não relativística; uma abordagem relativística é mais adequada para descrever com precisão seu comportamento.