Podemos estender a teoria de um gás de elétrons livres (Seção 5.3.1) para o domínio relativístico, substituindo a energia cinética clássica,
, pela fórmula relativística,
. O momento
está relacionado ao vetor de onda da forma habitual:
. Em particular, no limite extremo relativístico,
.
(a) Substitua
na Equação 5.44 pela expressão ultrarrelativística,
, e calcule
nesse regime.
está relacionado ao vetor de onda da forma habitual:
(a) Substitua
Passo 1
Beleza! Temos um exercício que pede para a gente estender a teoria de um gás de elétrons livres para o regime relativístico. Basicamente, em vez de usar a energia cinética clássica
, temos que usar a fórmula relativística
. Além disso, sabemos que o momento
está relacionado ao vetor de onda
por
. No caso extremadamente relativístico, a energia se simplifica para
.
No item (a), precisamos substituir
na Equação 5.44 por
e calcular a energia total
nesse regime ultrarrelativístico. Para isso, vamos usar conceitos de física de partículas e integrais para somar a energia de todos os elétrons no gás.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual é a Equação 5.44. Embora não tenhamos o livro em mãos, geralmente, em teoria de gás de elétrons livres, a energia total
é dada pela soma das energias cinéticas de todos os elétrons ocupados até a energia de Fermi.
Na aproximação clássica, a energia de cada elétron é
. No entanto, no regime ultrarrelativístico, essa energia deve ser substituída por
.
Passo 3
Vamos considerar que o gás de elétrons está distribuído em um volume
e que os estados são ocupados até um vetor de onda máximo
, conhecido como vetor de Fermi. A densidade de estados em
-espaço para elétrons é dada por:
Como estamos lidando com elétrons com spin 1/2, cada estado pode ser ocupado por dois elétrons (um para cada spin). Portanto, a densidade de elétrons é:
Podemos resolver para
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a energia total
substituindo a energia ultrarrelativística
:
Aqui, o fator 2 é para contar os dois spins por estado. Simplificando a integral:
Passo 5
Vamos resolver a integral:
Substituindo de volta na expressão para
:
Passo 6
Agora, substituímos
pela expressão que encontramos anteriormente:
Elevando ao quarto poder:
Substituindo na expressão de
:
Passo 7
Podemos simplificar a expressão:
Simplificando os termos:
Passo 8
Finalmente, podemos escrever a expressão final para a energia total no regime ultrarrelativístico:
Resposta
A energia total no regime ultrarrelativístico é dada por