Podemos estender a teoria de um gás de elétrons livres (Seção 5.3.1) para o domínio relativístico, substituindo a energia cinética clássica, , pela fórmula relativística, . O momento
está relacionado ao vetor de onda da forma habitual: . Em particular, no limite extremo relativístico, .
(a) Substitua na Equação 5.44 pela expressão ultrarrelativística, , e calcule nesse regime.

Passo 1

Beleza! Temos um exercício que pede para a gente estender a teoria de um gás de elétrons livres para o regime relativístico. Basicamente, em vez de usar a energia cinética clássica , temos que usar a fórmula relativística . Além disso, sabemos que o momento está relacionado ao vetor de onda por . No caso extremadamente relativístico, a energia se simplifica para .
No item (a), precisamos substituir na Equação 5.44 por e calcular a energia total nesse regime ultrarrelativístico. Para isso, vamos usar conceitos de física de partículas e integrais para somar a energia de todos os elétrons no gás.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é a Equação 5.44. Embora não tenhamos o livro em mãos, geralmente, em teoria de gás de elétrons livres, a energia total é dada pela soma das energias cinéticas de todos os elétrons ocupados até a energia de Fermi.
Na aproximação clássica, a energia de cada elétron é . No entanto, no regime ultrarrelativístico, essa energia deve ser substituída por .

Passo 3

Vamos considerar que o gás de elétrons está distribuído em um volume e que os estados são ocupados até um vetor de onda máximo , conhecido como vetor de Fermi. A densidade de estados em -espaço para elétrons é dada por:
Como estamos lidando com elétrons com spin 1/2, cada estado pode ser ocupado por dois elétrons (um para cada spin). Portanto, a densidade de elétrons é:
Podemos resolver para :

Passo 4

Agora, vamos calcular a energia total substituindo a energia ultrarrelativística :
Aqui, o fator 2 é para contar os dois spins por estado. Simplificando a integral:

Passo 5

Vamos resolver a integral:
Substituindo de volta na expressão para :

Passo 6

Agora, substituímos pela expressão que encontramos anteriormente:
Elevando ao quarto poder:
Substituindo na expressão de :

Passo 7

Podemos simplificar a expressão:
Simplificando os termos:

Passo 8

Finalmente, podemos escrever a expressão final para a energia total no regime ultrarrelativístico:

Resposta

A energia total no regime ultrarrelativístico é dada por

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