*17. Um comprimento de onda de 410,2 \mathrm{~nm} é emitido pelos átomos de hidrogênio em um tubo de descarga de alta voltagem. Quais os valores inicial e final do número quântico n para a transição do nível de energia que produz esse comprimento de onda?

Passo 1

O enunciado dá o comprimento de onda \lambda=410,2\text{ nm} emitido por átomos de hidrogênio e pede os números quânticos inicial e final (n_i e n_f). Vamos usar a espectroscopia atômica e a fórmula de Rydberg.

Passo 2

Sabemos que as linhas em torno de 410\text{ nm} estão na região visível e fazem parte da série de Balmer, em que o nível final é
n_f=2.

Passo 3

A fórmula de Rydberg para hidrogênio é
\frac{1}{\lambda} \;=\; R\Bigl(\frac{1}{n_f^2}-\frac{1}{n_i^2}\Bigr),
onde R=1,097\times10^{7}\,\text{m}^{-1} é a constante de Rydberg.

Passo 4

Isolando \tfrac{1}{n_i^2} e substituindo \lambda=410{,}2\times10^{-9}\,\text{m} e n_f=2, temos
\frac{1}{n_i^2} =\frac{1}{2^2}\;-\;\frac{1}{R\,\lambda} =\frac{1}{4}\;-\;\frac{1}{(1,097\times10^7)\,(410{,}2\times10^{-9})}.

Passo 5

Calculando cada termo:
\frac{1}{4}=0,25, \quad \frac{1}{R\,\lambda} =\frac{1}{1,097\times10^7\times410{,}2\times10^{-9}} \approx0,2222,
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\frac{1}{n_i^2}=0,25-0,2222=0,0278,
portanto n_i^2\approx36 e
n_i=6.

Resposta

n_i=6, n_f=2.

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