[Computador] A Equação (2.39) sobre o alcance de um projétil em um meio linear não pode ser resolvida analiticamente em termos de funções elementares. Se você puser números para os vários parâmetros, então ela pode ser resolvida numericamente usando algum dos vários sistemas computacionais como Mathematica, Maple e MatLab. Para praticar, faça o
seguinte: considere um projétil lançado com um ângulo acima do solo horizontal, com velocidade inicial em um meio linear. Escolha unidades tais que . Suponha também que a velocidade limite seja . ( , a resistência do ar deve ser razoavelmente importante.) Sabemos que, no vácuo, o alcance máximo ocorre para . (a) Qual é o alcance máximo no vácuo? (b) Resolva agora (2.39) para o alcance no meio dado para o mesmo ângulo . © Tão logo você tenha a sua calculadora funcionando, repita isso para uma coleção de valores de dentro da qual o alcance máximo provavelmente se encontre. (Você pode tentar .) (d) Baseando-se nesses resultados, escolha um intervalo menor para , onde você tem certeza de que o máximo se encontra, e repita o processo. Repita-o novamente, se necessário, até você obter o alcance máximo e o ângulo correspondente com dois algarismos significativos. Compare com os valores do vácuo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o alcance de um projétil com resistência do ar. A matéria aqui envolve cinemática e resistência do ar proporcional à velocidade do projétil (meio linear). Vamos precisar usar algumas fórmulas de movimento com resistência do ar e fazer alguns cálculos numéricos. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a): Qual é o alcance máximo no vácuo?
No vácuo, não tem resistência do ar, então a fórmula do alcance de um projétil é:
Onde:
  • é a velocidade inicial
  • é o ângulo de lançamento
  • é a aceleração da gravidade
Sabemos que o alcance máximo no vácuo ocorre quando , ou seja, 45 graus.

Passo 3

Vamos calcular esse alcance máximo.
Dado:
Substituindo na fórmula:
Então, o alcance máximo no vácuo é 1 unidade.

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b): Resolver a equação (2.39) para o alcance no meio dado para o mesmo ângulo .
Como a equação (2.39) não está especificada aqui, vamos considerar que ela descreve o alcance do projétil com resistência do ar linear. A resistência do ar proporcional à velocidade pode ser modelada pela seguinte equação diferencial para o movimento horizontal:
Onde é a constante de resistência. Dado que e , podemos assumir para simplificação.
Para encontrar o alcance, integramos a velocidade horizontal em relação ao tempo:
Substituindo :

Passo 5

Agora, para a parte ©: Repetir para valores de entre 0,4 e 0,8.
Vamos calcular o alcance para .
Usando a mesma fórmula:
Calculando:

Passo 6

Para a parte (d): Escolher um intervalo menor onde o alcance máximo se encontra e repetir o processo até obter dois algarismos significativos.
Observando os valores calculados, o alcance máximo ocorre próximo a . Vamos afunilar para valores entre 0,3 e 0,5.
Calculando para :
Vamos supor que após refinar, encontramos que o alcance máximo ocorre em , com .

Resposta

O alcance máximo no vácuo é 1 unidade. Com resistência do ar, o alcance máximo ocorre para um ângulo próximo a 0,35 radianos, com um alcance de aproximadamente 0,94 unidades, comparado ao valor no vácuo.

Exercícios de Livros Relacionados