(a) A Equação (2.33) fornece a velocidade de um objeto largado do repouso. No inicio, quando
é pequeno, a resistência do ar deve ser pouco importante e (2.33) deve concordar com o resultado
para um objeto em queda livre no vácuo. Mostre que esse é o caso. [Sugestão: lembre-se da série de Taylor para
, para a qual os primeiros dois ou três termos são certamente uma boa aproximação quando
é pequeno.] (b) A posição do objeto é dada por (2.35) com
. Mostre analogamente que esta se reduz ao resultado familiar
quando
é pequeno.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no enunciado do exercício. Ele está dividido em duas partes:
- Parte (a): Queremos mostrar que, para um objeto largado do repouso, quando a velocidade
é pequena, a resistência do ar é quase desprezível, e a equação dada (2.33) se simplifica para , que é a fórmula clássica para a velocidade de um objeto em queda livre no vácuo. - Parte (b): Aqui, precisamos demonstrar que a posição do objeto, dada pela equação (2.35) com
, também se reduz à fórmula conhecida quando o tempo é pequeno.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de Taylor e como elas podem simplificar expressões quando uma variável é pequena.
Passo 2
Parte (a): Vamos começar mostrando que, quando
é pequeno, a resistência do ar é insignificante, fazendo com que
.
A resistência do ar geralmente aparece em equações de movimento como um termo dependente da velocidade. Quando a velocidade é muito pequena, esse termo se torna quase zero. A equação (2.33) provavelmente tem a forma geral:
onde
é uma constante relacionada à resistência do ar.
Quando
é pequeno, isso corresponde a
sendo pequeno. Podemos usar a série de Taylor para aproximar
quando
é pequeno:
Mas para simplificar, vamos considerar apenas os primeiros dois termos:
Passo 3
Substituindo essa aproximação na equação de
:
Portanto, quando
é pequeno (e, consequentemente,
é pequeno), a velocidade se reduz à fórmula clássica do movimento de queda livre no vácuo:
Passo 4
Parte (b): Agora, vamos mostrar que a posição
também se reduz à fórmula conhecida quando
é pequeno.
A equação (2.35) com
provavelmente tem a forma geral:
Novamente, usamos a aproximação da série de Taylor para
quando
é pequeno:
Passo 5
Substituindo essa aproximação na equação de
:
Portanto, para tempos pequenos, a posição se reduz à fórmula clássica:
Resposta
Assim, mostramos que tanto a velocidade quanto a posição do objeto largado do repouso se reduzem às fórmulas clássicas de queda livre no vácuo quando a velocidade e o tempo são pequenos: