(a) A Equação (2.33) fornece a velocidade de um objeto largado do repouso. No inicio, quando é pequeno, a resistência do ar deve ser pouco importante e (2.33) deve concordar com o resultado para um objeto em queda livre no vácuo. Mostre que esse é o caso. [Sugestão: lembre-se da série de Taylor para , para a qual os primeiros dois ou três termos são certamente uma boa aproximação quando é pequeno.] (b) A posição do objeto é dada por (2.35) com . Mostre analogamente que esta se reduz ao resultado familiar quando é pequeno.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado do exercício. Ele está dividido em duas partes:
  • Parte (a): Queremos mostrar que, para um objeto largado do repouso, quando a velocidade é pequena, a resistência do ar é quase desprezível, e a equação dada (2.33) se simplifica para , que é a fórmula clássica para a velocidade de um objeto em queda livre no vácuo.
  • Parte (b): Aqui, precisamos demonstrar que a posição do objeto, dada pela equação (2.35) com , também se reduz à fórmula conhecida quando o tempo é pequeno.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de Taylor e como elas podem simplificar expressões quando uma variável é pequena.

Passo 2

Parte (a): Vamos começar mostrando que, quando é pequeno, a resistência do ar é insignificante, fazendo com que .
A resistência do ar geralmente aparece em equações de movimento como um termo dependente da velocidade. Quando a velocidade é muito pequena, esse termo se torna quase zero. A equação (2.33) provavelmente tem a forma geral:
onde é uma constante relacionada à resistência do ar.
Quando é pequeno, isso corresponde a sendo pequeno. Podemos usar a série de Taylor para aproximar quando é pequeno:
Mas para simplificar, vamos considerar apenas os primeiros dois termos:

Passo 3

Substituindo essa aproximação na equação de :
Portanto, quando é pequeno (e, consequentemente, é pequeno), a velocidade se reduz à fórmula clássica do movimento de queda livre no vácuo:

Passo 4

Parte (b): Agora, vamos mostrar que a posição também se reduz à fórmula conhecida quando é pequeno.
A equação (2.35) com provavelmente tem a forma geral:
Novamente, usamos a aproximação da série de Taylor para quando é pequeno:

Passo 5

Substituindo essa aproximação na equação de :
Portanto, para tempos pequenos, a posição se reduz à fórmula clássica:

Resposta

Assim, mostramos que tanto a velocidade quanto a posição do objeto largado do repouso se reduzem às fórmulas clássicas de queda livre no vácuo quando a velocidade e o tempo são pequenos:

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