Considere uma massa forçada a mover-se sobre o eixo e sujeita a uma força resultante , onde é uma constante positiva. A massa é largada a partir do repouso em no instante . Use o resultado (2.85) no Problema 2.12 para determinar a velocidade da massa como uma função de , isto é, para alguma função . Separe isso como e integre do tempo 0 até para determinar como uma função de . (Você pode reconhecer essa como uma forma - não tão fácil - de resolver o oscilador harmônico simples.)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma massa que está se movendo ao longo do eixo e está sob a ação de uma força resultante , onde é uma constante positiva. A massa é largada do repouso a partir de uma posição inicial no instante . Nosso objetivo aqui é determinar a velocidade da massa em função de , ou seja, encontrar , e depois integrar para achar em função do tempo . Estamos trabalhando com conceitos de Mecânica, especificamente com o Oscilador Harmônico Simples.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a força que está agindo na massa. A força é típica de um oscilador harmônico, como uma mola. Essa força é governada pela segunda lei de Newton, que diz que , onde é a aceleração. Então, podemos escrever:

Passo 3

Para simplificar, podemos reescrever essa equação diferencial dividindo ambos os lados por :
Essa é a equação do movimento para um oscilador harmônico simples. A solução geral dessa equação envolve funções seno e cosseno, mas vamos seguir o que a questão pede, usando o resultado mencionado.

Passo 4

Segundo o enunciado, devemos usar o resultado (2.85) do Problema 2.12 para determinar a velocidade . Geralmente, esse tipo de resultado relaciona energia ou integração de forças para obter a velocidade em termos da posição.
Sabemos que a energia potencial armazenada na posição é , e a energia cinética é , onde .
Como a massa parte do repouso, toda a energia inicial é potencial, e à medida que ela se move, parte dessa energia se transforma em cinética.
Assim, podemos escrever:

Passo 5

Resolvendo para , temos:
Então,

Passo 6

Agora, conforme solicitado, separamos as variáveis:
Para simplificar a integral, podemos fatorar :

Passo 7

A integral do lado esquerdo é uma forma padrão que resulta em um arco seno:
Onde é a constante de integração. Como no instante , , podemos encontrar :

Passo 8

Substituindo na equação:
Isolando :

Passo 9

Para encontrar , aplicamos a função seno em ambos os lados:
Simplificando a expressão dentro do seno:
Usando a identidade trigonométrica :

Resposta

A posição da massa em função do tempo é dada por:

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