Considere uma massa
forçada a mover-se sobre o eixo
e sujeita a uma força resultante
, onde
é uma constante positiva. A massa é largada a partir do repouso em
no instante
. Use o resultado (2.85) no Problema 2.12 para determinar a velocidade da massa como uma função de
, isto é,
para alguma função
. Separe isso como
e integre do tempo 0 até
para determinar
como uma função de
. (Você pode reconhecer essa como uma forma - não tão fácil - de resolver o oscilador harmônico simples.)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma massa
que está se movendo ao longo do eixo
e está sob a ação de uma força resultante
, onde
é uma constante positiva. A massa é largada do repouso a partir de uma posição inicial
no instante
. Nosso objetivo aqui é determinar a velocidade da massa em função de
, ou seja, encontrar
, e depois integrar para achar
em função do tempo
. Estamos trabalhando com conceitos de Mecânica, especificamente com o Oscilador Harmônico Simples.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a força que está agindo na massa. A força
é típica de um oscilador harmônico, como uma mola. Essa força é governada pela segunda lei de Newton, que diz que
, onde
é a aceleração. Então, podemos escrever:
Passo 3
Para simplificar, podemos reescrever essa equação diferencial dividindo ambos os lados por
:
Essa é a equação do movimento para um oscilador harmônico simples. A solução geral dessa equação envolve funções seno e cosseno, mas vamos seguir o que a questão pede, usando o resultado mencionado.
Passo 4
Segundo o enunciado, devemos usar o resultado (2.85) do Problema 2.12 para determinar a velocidade
. Geralmente, esse tipo de resultado relaciona energia ou integração de forças para obter a velocidade em termos da posição.
Sabemos que a energia potencial armazenada na posição
é
, e a energia cinética é
, onde
.
Como a massa parte do repouso, toda a energia inicial é potencial, e à medida que ela se move, parte dessa energia se transforma em cinética.
Assim, podemos escrever:
Passo 5
Resolvendo para
, temos:
Então,
Passo 6
Agora, conforme solicitado, separamos as variáveis:
Para simplificar a integral, podemos fatorar
:
Passo 7
A integral do lado esquerdo é uma forma padrão que resulta em um arco seno:
Onde
é a constante de integração. Como no instante
,
, podemos encontrar
:
Passo 8
Substituindo
na equação:
Isolando
:
Passo 9
Para encontrar
, aplicamos a função seno em ambos os lados:
Simplificando a expressão dentro do seno:
Usando a identidade trigonométrica
:
Resposta
A posição da massa em função do tempo é dada por: