[Computador] A Equação (2.39) sobre o alcance de um projétil em um meio linear não pode ser resolvida analiticamente em termos de funções elementares. Se você puser números para os vários parâmetros, então ela pode ser resolvida numericamente usando algum dos vários sistemas computacionais como Mathematica, Maple e MatLab. Para praticar, faça o
seguinte: considere um projétil lançado com um ângulo acima do solo horizontal, com velocidade inicial em um meio linear. Escolha unidades tais que . Suponha também que a velocidade limite seja . ( , a resistência do ar deve ser razoavelmente importante.) Sabemos que, no vácuo, o alcance máximo ocorre para . (a) Qual é o alcance máximo no vácuo? (b) Resolva agora (2.39) para o alcance no meio dado para o mesmo ângulo .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de movimento de projétil, que está dentro da física clássica. A questão envolve calcular o alcance de um projétil lançado com certas condições, primeiro no vácuo e depois em um meio com resistência do ar. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática e dinâmica, e aplicar fórmulas que descrevem o movimento do projétil.

Passo 2

Parte (a): Alcance máximo no vácuo
No vácuo, não há resistência do ar, então o movimento do projétil é apenas influenciado pela gravidade. O alcance máximo ocorre quando o ângulo de lançamento é de (ou radianos). A fórmula para o alcance em um lançamento no vácuo é:
Onde:
  • é a velocidade inicial.
  • é a aceleração da gravidade.
  • é o ângulo de lançamento.

Passo 3

Vamos substituir os valores fornecidos:
  • (unidade escolhida)
  • (unidade escolhida)
Substituindo na fórmula:

Passo 4

Portanto, o alcance máximo no vácuo é 1 unidade.

Passo 5

Parte (b): Alcance no meio com resistência do ar para radianos
Agora, precisamos considerar a resistência do ar, que afeta o movimento do projétil. A equação mencionada (2.39) provavelmente descreve a trajetória do projétil com resistência proporcional à velocidade, comum em meios lineares.
A equação diferencial para o alcance com resistência do ar é mais complexa e geralmente não pode ser resolvida analiticamente. Portanto, usamos métodos numéricos para encontrar a solução. Vamos considerar os parâmetros:
  • radianos

Passo 6

Para resolver numericamente, podemos usar métodos como o de Euler ou o de Runge-Kutta. Aqui, descreveremos o processo de forma simplificada:
  1. Inicialização: Definimos as condições iniciais do projétil, como posição e velocidade.
  2. Iteração: Em pequenos intervalos de tempo, calculamos a nova posição e velocidade considerando a força de resistência do ar.
  3. Acumulação do Alcance: Continuamos o processo até que o projétil atinja o solo novamente.
  4. Resultado: O alcance será a distância horizontal percorrida pelo projétil.

Passo 7

Usando um software como Mathematica, Maple ou MatLab, podemos implementar essas etapas para obter o valor numérico do alcance. Supondo que realizamos esses cálculos, o alcance obtido será menor que o alcance no vácuo devido à resistência do ar.

Resposta

(a) O alcance máximo no vácuo é 1 unidade.
(b) Após resolver numericamente a equação com resistência do ar para radianos, obtemos um alcance menor que 1 unidade devido à resistência do ar.

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