Considere um carrinho preso a uma mola que é criticamente amortecida. No instante
, o carrinho está parado na posição de equilíbrio e é impulsionado na direção positiva com velocidade
. Determine a posição
para todos os tempos subsequentes e esboce o gráfico de sua resposta.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um carrinho ligado a uma mola que está criticamente amortecida. Isso significa que a mola retorna à posição de equilíbrio sem oscilar, de forma eficiente. No instante inicial,
, o carrinho está parado na posição de equilíbrio, mas recebe um impulso que o faz ganhar uma velocidade inicial
. Nosso objetivo é encontrar a posição
do carrinho para todos os tempos posteriores.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica vibratória, especificamente sobre sistemas massa-mola-amortecedor e a condição de amortecimento crítico. Também vamos utilizar equações diferenciais para modelar o movimento.
Passo 2
Vamos começar escrevendo a equação diferencial que descreve o movimento do sistema massa-mola-amortecedor. A equação geral é:
Aqui,
é a massa do carrinho,
é o coeficiente de amortecimento e
é a constante da mola.
Passo 3
Como o sistema está criticamente amortecido, sabemos que o amortecimento
está na condição crítica, que é quando:
Essa condição evita oscilações e traz o sistema de volta ao equilíbrio no menor tempo possível sem ultrapassar.
Passo 4
Para resolver a equação diferencial, assumimos uma solução da forma:
Onde
e
são constantes que precisamos determinar usando as condições iniciais, e
.
Passo 5
Aplicamos as condições iniciais. Sabemos que no instante
, o carrinho está na posição de equilíbrio, ou seja,
. Substituindo na equação:
Passo 6
A segunda condição inicial é a velocidade inicial. Derivamos
para encontrar
:
No instante
, a velocidade é
:
Portanto,
.
Passo 7
Substituindo os valores de
e
na solução geral, temos:
Lembrando que
e, como
:
Passo 8
Finalmente, substituímos
na expressão de
:
Resposta
A posição do carrinho em função do tempo é dada por: