Considere um carrinho preso a uma mola que é criticamente amortecida. No instante , o carrinho está parado na posição de equilíbrio e é impulsionado na direção positiva com velocidade . Determine a posição para todos os tempos subsequentes e esboce o gráfico de sua resposta.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um carrinho ligado a uma mola que está criticamente amortecida. Isso significa que a mola retorna à posição de equilíbrio sem oscilar, de forma eficiente. No instante inicial, , o carrinho está parado na posição de equilíbrio, mas recebe um impulso que o faz ganhar uma velocidade inicial . Nosso objetivo é encontrar a posição do carrinho para todos os tempos posteriores.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica vibratória, especificamente sobre sistemas massa-mola-amortecedor e a condição de amortecimento crítico. Também vamos utilizar equações diferenciais para modelar o movimento.

Passo 2

Vamos começar escrevendo a equação diferencial que descreve o movimento do sistema massa-mola-amortecedor. A equação geral é:
Aqui, é a massa do carrinho, é o coeficiente de amortecimento e é a constante da mola.

Passo 3

Como o sistema está criticamente amortecido, sabemos que o amortecimento está na condição crítica, que é quando:
Essa condição evita oscilações e traz o sistema de volta ao equilíbrio no menor tempo possível sem ultrapassar.

Passo 4

Para resolver a equação diferencial, assumimos uma solução da forma:
Onde e são constantes que precisamos determinar usando as condições iniciais, e .

Passo 5

Aplicamos as condições iniciais. Sabemos que no instante , o carrinho está na posição de equilíbrio, ou seja, . Substituindo na equação:

Passo 6

A segunda condição inicial é a velocidade inicial. Derivamos para encontrar :
No instante , a velocidade é :
Portanto, .

Passo 7

Substituindo os valores de e na solução geral, temos:
Lembrando que e, como :

Passo 8

Finalmente, substituímos na expressão de :

Resposta

A posição do carrinho em função do tempo é dada por:

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