Verifique se a função (5.43), , é de fato uma segunda solução da equação do movimento (5.28) para um oscilador criticamente amortecido ).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que verificar se a função é realmente uma segunda solução da equação do movimento para um oscilador criticamente amortecido, onde . Isso envolve trabalhar com equações diferenciais que descrevem o movimento de sistemas oscilatórios com amortecimento.

Passo 2

Para verificar se é uma solução da equação, precisamos primeiro lembrar qual é a equação do movimento para um oscilador amortecido. Geralmente, ela é dada por:
Aqui:
  • é a segunda derivada de em relação ao tempo (aceleração).
  • é a primeira derivada de em relação ao tempo (velocidade).
  • é o coeficiente de amortecimento.
  • é a frequência natural do oscilador.

Passo 3

Sabemos que para um oscilador criticamente amortecido, o coeficiente de amortecimento é igual à frequência natural , ou seja, . Isso nos ajuda a simplificar a equação do movimento.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas necessárias da função .
Primeira derivada ( ):
Segunda derivada ( ):

Passo 5

Agora, substituímos , e na equação do movimento:
Substituindo:

Passo 6

Simplificamos cada termo:
Observamos que os termos e se cancelam:
Factorando :
Simplificando dentro dos parênteses:

Passo 7

Como a equação deve valer zero para todo , o que está entre parênteses deve ser igual a zero:
Isso confirma que, quando , a função satisfaz a equação do movimento.

Resposta

Sim, a função é uma segunda solução válida da equação do movimento para um oscilador criticamente amortecido quando .

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