Verifique se a função (5.43),
, é de fato uma segunda solução da equação do movimento (5.28) para um oscilador criticamente amortecido
).
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que verificar se a função
é realmente uma segunda solução da equação do movimento para um oscilador criticamente amortecido, onde
. Isso envolve trabalhar com equações diferenciais que descrevem o movimento de sistemas oscilatórios com amortecimento.
Passo 2
Para verificar se
é uma solução da equação, precisamos primeiro lembrar qual é a equação do movimento para um oscilador amortecido. Geralmente, ela é dada por:
Aqui:
-
é a segunda derivada de em relação ao tempo (aceleração). -
é a primeira derivada de em relação ao tempo (velocidade). -
é o coeficiente de amortecimento. -
é a frequência natural do oscilador.
Passo 3
Sabemos que para um oscilador criticamente amortecido, o coeficiente de amortecimento
é igual à frequência natural
, ou seja,
. Isso nos ajuda a simplificar a equação do movimento.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas necessárias da função
.
Primeira derivada (
):
Segunda derivada (
):
Passo 5
Agora, substituímos
,
e
na equação do movimento:
Substituindo:
Passo 6
Simplificamos cada termo:
Observamos que os termos
e
se cancelam:
Factorando
:
Simplificando dentro dos parênteses:
Passo 7
Como a equação deve valer zero para todo
, o que está entre parênteses deve ser igual a zero:
Isso confirma que, quando
, a função
satisfaz a equação do movimento.
Resposta
Sim, a função
é uma segunda solução válida da equação do movimento para um oscilador criticamente amortecido quando
.