Considere um oscilador harmônico simples com período
. Seja
o valor médio de uma variável qualquer
, cuja média sobre um ciclo é:
Mostre que
, onde
é a energia total do oscilador. [Sugestão: comece mostrando os resultados gerais e extremamente úteis
. Explique por que esses dois resultados são quase óbvios, em seguida, mostre-os usando identidades trigonométricas para escrever
e
em termos de
Passo 1
Então, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um oscilador harmônico simples com período
. Queremos mostrar que o valor médio da energia cinética
e da energia potencial
são iguais a metade da energia total
do oscilador, ou seja:
Para chegar lá, vamos precisar lembrar alguns conceitos básicos de oscilações harmônicas e como calcular médias de funções periódicas usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das expressões para a energia cinética
e a energia potencial
de um oscilador harmônico simples. Se a massa do oscilador é
e a amplitude do movimento é
, a energia cinética e potencial são dadas por:
Onde
é a constante da mola e
é a posição em função do tempo.
Passo 3
Sabemos que para um movimento harmônico simples, a posição pode ser escrita como:
Onde:
-
é a amplitude, -
é a frequência angular, -
é a fase.
Derivando
em relação ao tempo, obtemos a velocidade:
Passo 4
Agora, substituímos
na expressão para
:
E substituímos
na expressão para
:
Passo 5
Agora, vamos calcular as médias
e
sobre um ciclo completo. Usando a definição de média:
Passo 6
Vamos calcular a média de
e
. Um resultado bem útil em trigonometria é:
Isso acontece porque, ao integrar
ou
sobre um período completo, as áreas positivas e negativas se equilibram, resultando em médias iguais a 1/2.
Passo 7
Para confirmar isso, podemos usar identidades trigonométricas. Sabemos que:
Então, ao calcular a média, temos:
Como a média de
sobre um ciclo completo é zero, resta:
O mesmo ocorre para
.
Passo 8
Agora, substituímos esses resultados nas expressões das médias de
e
:
Passo 9
Sabemos que a energia total
de um oscilador harmônico é a soma da energia cinética e potencial máxima, que é:
Então, podemos ver que:
Resposta
Portanto, mostramos que o valor médio da energia cinética e da energia potencial em um oscilador harmônico simples são iguais a metade da energia total: