Considere um oscilador harmônico simples com período . Seja o valor médio de uma variável qualquer , cuja média sobre um ciclo é:
Mostre que , onde é a energia total do oscilador. [Sugestão: comece mostrando os resultados gerais e extremamente úteis . Explique por que esses dois resultados são quase óbvios, em seguida, mostre-os usando identidades trigonométricas para escrever e em termos de

Passo 1

Então, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um oscilador harmônico simples com período . Queremos mostrar que o valor médio da energia cinética e da energia potencial são iguais a metade da energia total do oscilador, ou seja:
Para chegar lá, vamos precisar lembrar alguns conceitos básicos de oscilações harmônicas e como calcular médias de funções periódicas usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das expressões para a energia cinética e a energia potencial de um oscilador harmônico simples. Se a massa do oscilador é e a amplitude do movimento é , a energia cinética e potencial são dadas por:
Onde é a constante da mola e é a posição em função do tempo.

Passo 3

Sabemos que para um movimento harmônico simples, a posição pode ser escrita como:
Onde:
  • é a amplitude,
  • é a frequência angular,
  • é a fase.
Derivando em relação ao tempo, obtemos a velocidade:

Passo 4

Agora, substituímos na expressão para :
E substituímos na expressão para :

Passo 5

Agora, vamos calcular as médias e sobre um ciclo completo. Usando a definição de média:

Passo 6

Vamos calcular a média de e . Um resultado bem útil em trigonometria é:
Isso acontece porque, ao integrar ou sobre um período completo, as áreas positivas e negativas se equilibram, resultando em médias iguais a 1/2.

Passo 7

Para confirmar isso, podemos usar identidades trigonométricas. Sabemos que:
Então, ao calcular a média, temos:
Como a média de sobre um ciclo completo é zero, resta:
O mesmo ocorre para .

Passo 8

Agora, substituímos esses resultados nas expressões das médias de e :

Passo 9

Sabemos que a energia total de um oscilador harmônico é a soma da energia cinética e potencial máxima, que é:
Então, podemos ver que:

Resposta

Portanto, mostramos que o valor médio da energia cinética e da energia potencial em um oscilador harmônico simples são iguais a metade da energia total:

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