A força sobre uma massa na posição sobre o eixo é , onde e são constantes positivas. Determine a energia potencial e obtenha uma aproximação para que seja apropriada para pequenas oscilações. Qual é a frequência angular de tais oscilações?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma massa sujeita a uma força no eixo . A gente precisa encontrar a energia potencial , fazer uma aproximação dessa energia para pequenas oscilações e descobrir a frequência angular dessas oscilações. Para isso, vamos usar conceitos de força e energia potencial, além de propriedades das oscilações harmônicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a força está relacionada com a energia potencial pela relação:
Então, para encontrar , precisamos integrar a força em relação a .

Passo 3

Vamos integrar a força :
A integral de é , então:
Aqui, é a constante de integração. Podemos escolher para simplificar, já que estamos interessados na energia relativa.

Passo 4

Agora, para pequenas oscilações, ou seja, quando é pequeno, podemos aproximar usando a expansão em série de Taylor:
Substituindo na expressão de :
Como a constante não afeta as forças (só desloca a energia potencial), podemos ignorar esse termo e escrever:

Passo 5

Essa forma de para pequenas oscilações é a de um oscilador harmônico, onde a energia potencial é quadrática em . A frequência angular de um oscilador harmônico é dada por:
Onde é a constante elástica, que corresponde ao coeficiente de na energia potencial. No nosso caso:
Então, substituindo na fórmula da frequência angular:

Resposta

A energia potencial é . Para pequenas oscilações, a energia potencial pode ser aproximada por . A frequência angular das oscilações é .

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