A força sobre uma massa
na posição
sobre o eixo
é
, onde
e
são constantes positivas. Determine a energia potencial
e obtenha uma aproximação para
que seja apropriada para pequenas oscilações. Qual é a frequência angular de tais oscilações?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma massa
sujeita a uma força
no eixo
. A gente precisa encontrar a energia potencial
, fazer uma aproximação dessa energia para pequenas oscilações e descobrir a frequência angular dessas oscilações. Para isso, vamos usar conceitos de força e energia potencial, além de propriedades das oscilações harmônicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a força
está relacionada com a energia potencial
pela relação:
Então, para encontrar
, precisamos integrar a força em relação a
.
Passo 3
Vamos integrar a força
:
A integral de
é
, então:
Aqui,
é a constante de integração. Podemos escolher
para simplificar, já que estamos interessados na energia relativa.
Passo 4
Agora, para pequenas oscilações, ou seja, quando
é pequeno, podemos aproximar
usando a expansão em série de Taylor:
Substituindo na expressão de
:
Como a constante não afeta as forças (só desloca a energia potencial), podemos ignorar esse termo e escrever:
Passo 5
Essa forma de
para pequenas oscilações é a de um oscilador harmônico, onde a energia potencial é quadrática em
. A frequência angular
de um oscilador harmônico é dada por:
Onde
é a constante elástica, que corresponde ao coeficiente de
na energia potencial. No nosso caso:
Então, substituindo na fórmula da frequência angular:
Resposta
A energia potencial é
. Para pequenas oscilações, a energia potencial pode ser aproximada por
. A frequência angular das oscilações é
.