Um oscilador amortecido satisfaz a equação (5.24), onde é a força de amortecimento. Determine a taxa de variação da energia (por derivação direta) e, com auxílio de (5.24), mostre que é (menos) a taxa pela qual a energia é dissipada por .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre um oscilador amortecido que segue a equação (5.24). A gente precisa calcular como a energia total varia no tempo. Para isso, vamos precisar aplicar cálculo, especialmente derivadas, e entender um pouco sobre forças de amortecimento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a energia total do sistema. Ela é a soma da energia cinética (energia do movimento) e da energia potencial (energia armazenada na mola). Nosso objetivo é encontrar a derivada dessa energia em relação ao tempo, ou seja, .

Passo 3

Vamos derivar em relação ao tempo usando a regra da derivada para somas:

Passo 4

Calculando a derivada da energia cinética:
Aqui, usamos a regra da cadeia: derivada de é , e o 2 cancela com o .

Passo 5

Agora, derivando a energia potencial:
Novamente, aplicamos a regra da cadeia para derivar , que dá , e o 2 cancela com o .

Passo 6

Juntando as duas derivadas:
Podemos fatorar :

Passo 7

Agora, vamos usar a equação do oscilador amortecido, que é dada por:
Rearranjando para :

Passo 8

Substituindo isso na expressão da derivada da energia:
Isso mostra que a taxa de variação da energia é negativa e proporcional ao quadrado da velocidade.

Resposta

A taxa de variação da energia é , representando a energia dissipada pelo amortecimento.

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