Um oscilador amortecido satisfaz a equação (5.24), onde
é a força de amortecimento. Determine a taxa de variação da energia
(por derivação direta) e, com auxílio de (5.24), mostre que
é (menos) a taxa pela qual a energia é dissipada por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre um oscilador amortecido que segue a equação (5.24). A gente precisa calcular como a energia total
varia no tempo. Para isso, vamos precisar aplicar cálculo, especialmente derivadas, e entender um pouco sobre forças de amortecimento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a energia total do sistema. Ela é a soma da energia cinética
(energia do movimento) e da energia potencial
(energia armazenada na mola). Nosso objetivo é encontrar a derivada dessa energia em relação ao tempo, ou seja,
.
Passo 3
Vamos derivar
em relação ao tempo usando a regra da derivada para somas:
Passo 4
Calculando a derivada da energia cinética:
Aqui, usamos a regra da cadeia: derivada de
é
, e o 2 cancela com o
.
Passo 5
Agora, derivando a energia potencial:
Novamente, aplicamos a regra da cadeia para derivar
, que dá
, e o 2 cancela com o
.
Passo 6
Juntando as duas derivadas:
Podemos fatorar
:
Passo 7
Agora, vamos usar a equação do oscilador amortecido, que é dada por:
Rearranjando para
:
Passo 8
Substituindo isso na expressão da derivada da energia:
Isso mostra que a taxa de variação da energia é negativa e proporcional ao quadrado da velocidade.
Resposta
A taxa de variação da energia é
, representando a energia dissipada pelo amortecimento.