Considere uma conta que está confinada em uma argola circular rigida, de raio , apoiada no plano com o seu centro em , e use o ângulo , a coordenada polar em duas dimensões, como uma coordenada generalizada para descrever a posição da conta. Obtenha as equações que fornecem as coordenadas Cartesianas em termos de e a equação que fornece a coordenada generalizada em termos de .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que está presa em uma argola circular rígida de raio , posicionada no plano com o centro em . A posição da partícula é descrita pelo ângulo , que é a coordenada polar. O objetivo é encontrar duas coisas:
  1. As coordenadas Cartesianas em termos de .
  2. A coordenada generalizada em termos de .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de sistemas de coordenadas polar e cartesiano e as relações entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos relacionar as coordenadas polar com as coordenadas Cartesianas . No sistema de coordenadas polar, a posição de um ponto é dada pelo raio e pelo ângulo .
A relação entre as coordenadas Cartesianas e a coordenada polar é dada pelas seguintes fórmulas trigonométricas:
Aqui, usamos as funções cosseno e seno para projetar o raio nos eixos e , respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos resolver o inverso: encontrar em termos de e . Para isso, usamos a definição da tangente no triângulo formado pelas coordenadas.
A tangente do ângulo é dada por:
Para encontrar , aplicamos a função arco-tangente (também conhecida como função inversa da tangente):
É importante lembrar que a função arco-tangente retorna valores no intervalo correto dos ângulos, considerando os sinais de e .

Resposta

As coordenadas Cartesianas em termos de são:
E a coordenada generalizada em termos de é:

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