Considere uma conta que está confinada em uma argola circular rigida, de raio
, apoiada no plano
com o seu centro em
, e use o ângulo
, a coordenada polar em duas dimensões, como uma coordenada generalizada para descrever a posição da conta. Obtenha as equações que fornecem as coordenadas Cartesianas
em termos de
e a equação que fornece a coordenada generalizada
em termos de
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que está presa em uma argola circular rígida de raio
, posicionada no plano
com o centro em
. A posição da partícula é descrita pelo ângulo
, que é a coordenada polar. O objetivo é encontrar duas coisas:
- As coordenadas Cartesianas
em termos de . - A coordenada generalizada
em termos de .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de sistemas de coordenadas polar e cartesiano e as relações entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos relacionar as coordenadas polar
com as coordenadas Cartesianas
. No sistema de coordenadas polar, a posição de um ponto é dada pelo raio
e pelo ângulo
.
A relação entre as coordenadas Cartesianas e a coordenada polar é dada pelas seguintes fórmulas trigonométricas:
Aqui, usamos as funções cosseno e seno para projetar o raio
nos eixos
e
, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos resolver o inverso: encontrar
em termos de
e
. Para isso, usamos a definição da tangente no triângulo formado pelas coordenadas.
A tangente do ângulo
é dada por:
Para encontrar
, aplicamos a função arco-tangente (também conhecida como função inversa da tangente):
É importante lembrar que a função arco-tangente retorna valores no intervalo correto dos ângulos, considerando os sinais de
e
.
Resposta
As coordenadas Cartesianas em termos de
são:
E a coordenada generalizada
em termos de
é: