Usando o ângulo usual como a coordenada generalizada, obtenha a Lagrangiana para um pêndulo simples de comprimento , suspenso a partir do teto de um elevador, que está acelerando para cima com aceleração constante . (Seja cuidadoso quando escrever ; é provavelmente mais seguro escrever a velocidade do lóbulo em suas componenetes.) Determine a equação de Lagrange para o movimento e mostre que ela é a mesma que aquela para um pêndulo normal, não acelerando, exceto pelo fato de que deve ser substituido por . Em particular, a frequência angular para pequenas oscilações é .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos um pêndulo simples de comprimento suspenso do teto de um elevador que está acelerando para cima com uma aceleração constante . Nosso objetivo é encontrar a Lagrangiana desse sistema usando o ângulo usual como coordenada generalizada. Depois, determinaremos a equação de Lagrange para o movimento e mostraremos que é similar à de um pêndulo normal, mas com substituído por . Finalmente, encontraremos a frequência angular para pequenas oscilações.
Para resolver isso, precisaremos dos conceitos de energia cinética, energia potencial e da formulação de Lagrange.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a posição do pêndulo. Considere que o pêndulo faz um ângulo com a vertical. As coordenadas cartesianas do pêndulo são:

Passo 3

Agora, vamos calcular a velocidade do pêndulo, que é a derivada das coordenadas em relação ao tempo:

Passo 4

A energia cinética do pêndulo é dada por:
Substituindo as expressões de e :
Pois .

Passo 5

Agora, vamos calcular a energia potencial . Considerando que o elevador está acelerando para cima com aceleração , a força efetiva gravitacional é .
A energia potencial é:

Passo 6

A Lagrangiana é dada pela diferença entre a energia cinética e a energia potencial:

Passo 7

Agora, vamos usar a equação de Lagrange para encontrar a equação do movimento. A equação de Lagrange para a coordenada é:
Calculando as derivadas parciais:
Substituindo na equação de Lagrange:
Simplificando por :

Passo 8

Para pequenas oscilações, onde é pequeno, podemos aproximar . Então, a equação fica:
Esta é a equação de um movimento harmônico simples, cuja frequência angular é dada por:

Resposta

A Lagrangiana do pêndulo no elevador acelerado é
A equação de Lagrange para o movimento é
E a frequência angular para pequenas oscilações é

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