Usando o ângulo usual
como a coordenada generalizada, obtenha a Lagrangiana para um pêndulo simples de comprimento
, suspenso a partir do teto de um elevador, que está acelerando para cima com aceleração constante
. (Seja cuidadoso quando escrever
; é provavelmente mais seguro escrever a velocidade do lóbulo em suas componenetes.) Determine a equação de Lagrange para o movimento e mostre que ela é a mesma que aquela para um pêndulo normal, não acelerando, exceto pelo fato de que
deve ser substituido por
. Em particular, a frequência angular para pequenas oscilações é
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos um pêndulo simples de comprimento
suspenso do teto de um elevador que está acelerando para cima com uma aceleração constante
. Nosso objetivo é encontrar a Lagrangiana desse sistema usando o ângulo usual
como coordenada generalizada. Depois, determinaremos a equação de Lagrange para o movimento e mostraremos que é similar à de um pêndulo normal, mas com
substituído por
. Finalmente, encontraremos a frequência angular para pequenas oscilações.
Para resolver isso, precisaremos dos conceitos de energia cinética, energia potencial e da formulação de Lagrange.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar a posição do pêndulo. Considere que o pêndulo faz um ângulo
com a vertical. As coordenadas cartesianas do pêndulo são:
Passo 3
Agora, vamos calcular a velocidade do pêndulo, que é a derivada das coordenadas em relação ao tempo:
Passo 4
A energia cinética
do pêndulo é dada por:
Substituindo as expressões de
e
:
Pois
.
Passo 5
Agora, vamos calcular a energia potencial
. Considerando que o elevador está acelerando para cima com aceleração
, a força efetiva gravitacional é
.
A energia potencial é:
Passo 6
A Lagrangiana
é dada pela diferença entre a energia cinética e a energia potencial:
Passo 7
Agora, vamos usar a equação de Lagrange para encontrar a equação do movimento. A equação de Lagrange para a coordenada
é:
Calculando as derivadas parciais:
Substituindo na equação de Lagrange:
Simplificando por
:
Passo 8
Para pequenas oscilações, onde
é pequeno, podemos aproximar
. Então, a equação fica:
Esta é a equação de um movimento harmônico simples, cuja frequência angular
é dada por:
Resposta
A Lagrangiana do pêndulo no elevador acelerado é
A equação de Lagrange para o movimento é
E a frequência angular para pequenas oscilações é