Obtenha a Lagrangiana para uma partícula movendo-se em uma dimensão ao longo do eixo e sujeita à força (com positivo). Determine a equação de Lagrange do movimento e resolva-a.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que se move em uma dimensão ao longo do eixo e está sujeita à força , onde é uma constante positiva. O objetivo é encontrar a Lagrangiana dessa partícula, determinar a equação de Lagrange do movimento e resolver essa equação. Para isso, vamos precisar dos conceitos de energia cinética, energia potencial e das equações de Lagrange.

Passo 2

A Lagrangiana ( ) é definida como a diferença entre a energia cinética ( ) e a energia potencial ( ) do sistema:
Então, precisamos calcular e para a partícula em questão.

Passo 3

A energia cinética ( ) de uma partícula de massa que se move com velocidade é dada por:
Aqui, representa a derivada de em relação ao tempo, ou seja, a velocidade da partícula.

Passo 4

A energia potencial ( ) associada à força pode ser encontrada sabendo que . Integrando essa relação, obtemos:
Isso significa que a energia potencial é proporcional ao quadrado da posição .

Passo 5

Agora que temos e , podemos escrever a Lagrangiana:
Essa expressão representa a Lagrangiana do sistema.

Passo 6

Para determinar a equação de Lagrange do movimento, usamos a seguinte fórmula:
Vamos calcular cada termo separadamente.

Passo 7

Primeiro, calculamos a derivada parcial de em relação a :
Em seguida, derivamos isso em relação ao tempo:
Aqui, é a aceleração da partícula.

Passo 8

Agora, calculamos a derivada parcial de em relação a :
Substituindo esses resultados na equação de Lagrange:

Passo 9

Essa é a equação diferencial que descreve o movimento da partícula. Vamos resolver essa equação para encontrar .
A equaç��o é:
Dividindo ambos os lados por :
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com solução harmônica.

Resposta

A solução da equação de movimento é:
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais da partícula.

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