Obtenha a Lagrangiana para uma partícula movendo-se em uma dimensão ao longo do eixo
e sujeita à força
(com
positivo). Determine a equação de Lagrange do movimento e resolva-a.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que se move em uma dimensão ao longo do eixo
e está sujeita à força
, onde
é uma constante positiva. O objetivo é encontrar a Lagrangiana dessa partícula, determinar a equação de Lagrange do movimento e resolver essa equação. Para isso, vamos precisar dos conceitos de energia cinética, energia potencial e das equações de Lagrange.
Passo 2
A Lagrangiana (
) é definida como a diferença entre a energia cinética (
) e a energia potencial (
) do sistema:
Então, precisamos calcular
e
para a partícula em questão.
Passo 3
A energia cinética (
) de uma partícula de massa
que se move com velocidade
é dada por:
Aqui,
representa a derivada de
em relação ao tempo, ou seja, a velocidade da partícula.
Passo 4
A energia potencial (
) associada à força
pode ser encontrada sabendo que
. Integrando essa relação, obtemos:
Isso significa que a energia potencial é proporcional ao quadrado da posição
.
Passo 5
Agora que temos
e
, podemos escrever a Lagrangiana:
Essa expressão representa a Lagrangiana do sistema.
Passo 6
Para determinar a equação de Lagrange do movimento, usamos a seguinte fórmula:
Vamos calcular cada termo separadamente.
Passo 7
Primeiro, calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Em seguida, derivamos isso em relação ao tempo:
Aqui,
é a aceleração da partícula.
Passo 8
Agora, calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Substituindo esses resultados na equação de Lagrange:
Passo 9
Essa é a equação diferencial que descreve o movimento da partícula. Vamos resolver essa equação para encontrar
.
A equaç��o é:
Dividindo ambos os lados por
:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com solução harmônica.
Resposta
A solução da equação de movimento é:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais da partícula.