Vimos, no Exemplo (7.3), que a aceleração da máquina de Atwood é . Algumas vezes, é argumentado que esse resultado é “óbvio” porque, como dizem, a força efetiva sobre o sistema é e a massa efetiva é . Isso não seja, talvez, tão óbvio assim, pois ele não emerge muito naturalmente do formalismo Lagrangiano. Lembre-se de que a equação de Lagrange pode ser pensada como [Equação (7.17)]
força generalizada taxa de variação do momento generalizado .
Mostre que, para a máquina de Atwood, a força generalizada é e o momento generalizado é . Comente.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a máquina de Atwood, que é um sistema com duas massas e ligadas por uma corda sobre uma polia. O exercício pede para mostrarmos que, usando o formalismo lagrangiano, a força generalizada é e o momento generalizado é . Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de força generalizada e momento generalizado no contexto da mecânica lagrangiana.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que na mecânica lagrangiana, a força generalizada está relacionada à taxa de variação do momento generalizado pela equação:
Isso significa que precisamos identificar tanto a força generalizada quanto o momento generalizado para o sistema da máquina de Atwood.

Passo 3

Vamos identificar a coordenada generalizada do sistema. No caso da máquina de Atwood, a posição de uma das massas, , pode servir como coordenada generalizada. Isso simplifica a análise, pois o movimento de uma massa determina o movimento da outra devido à corda.

Passo 4

Agora, vamos determinar o momento generalizado . O momento generalizado é dado pela derivada da função Lagrangiana em relação à velocidade generalizada :
Como a energia cinética do sistema é:
E a energia potencial é:
Então, o Lagrangiano é:
Calculando o momento generalizado:

Passo 5

Agora, vamos calcular a força generalizada . Segundo a equação de Lagrange:
Mas também sabemos que, para a máquina de Atwood, a diferença de peso atua como a força efetiva:
Portanto, a força generalizada é igual a essa força efetiva:

Passo 6

Igualando as duas expressões para :
Isso confirma que o momento generalizado é e a força generalizada é .

Resposta

Demonstramos que, na máquina de Atwood, a força generalizada é e o momento generalizado é , confirmando a equação de Lagrange para esse sistema.

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