Vimos, no Exemplo (7.3), que a aceleração da máquina de Atwood é
. Algumas vezes, é argumentado que esse resultado é “óbvio” porque, como dizem, a força efetiva sobre o sistema é
e a massa efetiva é
. Isso não seja, talvez, tão óbvio assim, pois ele não emerge muito naturalmente do formalismo Lagrangiano. Lembre-se de que a equação de Lagrange pode ser pensada como [Equação (7.17)]
força generalizada
taxa de variação do momento generalizado
.
Mostre que, para a máquina de Atwood, a força generalizada é
e o momento generalizado é
. Comente.
Mostre que, para a máquina de Atwood, a força generalizada é
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a máquina de Atwood, que é um sistema com duas massas
e
ligadas por uma corda sobre uma polia. O exercício pede para mostrarmos que, usando o formalismo lagrangiano, a força generalizada é
e o momento generalizado é
. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de força generalizada e momento generalizado no contexto da mecânica lagrangiana.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que na mecânica lagrangiana, a força generalizada
está relacionada à taxa de variação do momento generalizado
pela equação:
Isso significa que precisamos identificar tanto a força generalizada quanto o momento generalizado para o sistema da máquina de Atwood.
Passo 3
Vamos identificar a coordenada generalizada do sistema. No caso da máquina de Atwood, a posição de uma das massas,
, pode servir como coordenada generalizada. Isso simplifica a análise, pois o movimento de uma massa determina o movimento da outra devido à corda.
Passo 4
Agora, vamos determinar o momento generalizado
. O momento generalizado é dado pela derivada da função Lagrangiana em relação à velocidade generalizada
:
Como a energia cinética
do sistema é:
E a energia potencial
é:
Então, o Lagrangiano
é:
Calculando o momento generalizado:
Passo 5
Agora, vamos calcular a força generalizada
. Segundo a equação de Lagrange:
Mas também sabemos que, para a máquina de Atwood, a diferença de peso atua como a força efetiva:
Portanto, a força generalizada
é igual a essa força efetiva:
Passo 6
Igualando as duas expressões para
:
Isso confirma que o momento generalizado é
e a força generalizada é
.
Resposta
Demonstramos que, na máquina de Atwood, a força generalizada é
e o momento generalizado é
, confirmando a equação de Lagrange para esse sistema.