Duas massas iguais,
, estão conectadas por uma mola, de massa desprezível, de comprimento
, que passa através de um orifício, em uma mesa horizontal sem atrito. A primeira massa desliza sobre a mesa, enquanto a segunda está pendurada abaixo da mesa e se move para cima e para baixo em uma linha vertical. Determine as duas equações de Lagrange e interprete a equação
em termos do momento angular
da primeira massa.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos duas massas iguais,
, ligadas por uma mola sem massa, de comprimento
. A mola passa por um orifício em uma mesa sem atrito. A primeira massa desliza pela mesa, enquanto a segunda está pendurada e se move verticalmente. Precisamos determinar as duas equações de Lagrange para esse sistema e interpretar a equação
em termos do momento angular
da primeira massa. Para resolver isso, vamos precisar usar os conceitos de mecânica Lagrangiana, que envolve energia cinética, energia potencial e coordenadas generalizadas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as coordenadas que descrevem o sistema. Vamos chamar de
a posição horizontal da primeira massa na mesa e de
a posição vertical da segunda massa pendurada. Essas serão nossas coordenadas generalizadas.
Passo 3
Agora, vamos determinar as energias cinética e potencial do sistema. A energia cinética da primeira massa, que está se movendo horizontalmente, é
. A energia cinética da segunda massa, que se move verticalmente, é
. Então, a energia cinética total é
.
Passo 4
A energia potencial do sistema vem da mola. Se considerarmos que a mola está na sua posição natural quando
, a energia potencial é
, onde
é a constante elástica da mola. Portanto, a potência total do sistema é
.
Passo 5
Agora, construímos o Lagrangiano
, que é a diferença entre a energia cinética e a energia potencial:
Passo 6
Em seguida, aplicamos as Equações de Lagrange para cada coordenada generalizada. Para
:
Fazendo as derivadas, obtemos:
Passo 7
Fazemos o mesmo para a coordenada
:
Calculando as derivadas, temos:
Passo 8
Por fim, precisamos interpretar a equação
em termos do momento angular
da primeira massa. O momento angular
é dado por
, onde
é a velocidade da massa. A equação
está relacionada à conservação do momento angular neste sistema.
Resposta
As equações de Lagrange para o sistema são:
Além disso, a equação
representa o momento angular
da primeira massa, mostrando que
está diretamente relacionada à conservação do momento angular no sistema.