Duas massas iguais, , estão conectadas por uma mola, de massa desprezível, de comprimento , que passa através de um orifício, em uma mesa horizontal sem atrito. A primeira massa desliza sobre a mesa, enquanto a segunda está pendurada abaixo da mesa e se move para cima e para baixo em uma linha vertical. Determine as duas equações de Lagrange e interprete a equação em termos do momento angular da primeira massa.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos duas massas iguais, , ligadas por uma mola sem massa, de comprimento . A mola passa por um orifício em uma mesa sem atrito. A primeira massa desliza pela mesa, enquanto a segunda está pendurada e se move verticalmente. Precisamos determinar as duas equações de Lagrange para esse sistema e interpretar a equação em termos do momento angular da primeira massa. Para resolver isso, vamos precisar usar os conceitos de mecânica Lagrangiana, que envolve energia cinética, energia potencial e coordenadas generalizadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as coordenadas que descrevem o sistema. Vamos chamar de a posição horizontal da primeira massa na mesa e de a posição vertical da segunda massa pendurada. Essas serão nossas coordenadas generalizadas.

Passo 3

Agora, vamos determinar as energias cinética e potencial do sistema. A energia cinética da primeira massa, que está se movendo horizontalmente, é . A energia cinética da segunda massa, que se move verticalmente, é . Então, a energia cinética total é .

Passo 4

A energia potencial do sistema vem da mola. Se considerarmos que a mola está na sua posição natural quando , a energia potencial é , onde é a constante elástica da mola. Portanto, a potência total do sistema é .

Passo 5

Agora, construímos o Lagrangiano , que é a diferença entre a energia cinética e a energia potencial:

Passo 6

Em seguida, aplicamos as Equações de Lagrange para cada coordenada generalizada. Para :
Fazendo as derivadas, obtemos:

Passo 7

Fazemos o mesmo para a coordenada :
Calculando as derivadas, temos:

Passo 8

Por fim, precisamos interpretar a equação em termos do momento angular da primeira massa. O momento angular é dado por , onde é a velocidade da massa. A equação está relacionada à conservação do momento angular neste sistema.

Resposta

As equações de Lagrange para o sistema são:
Além disso, a equação representa o momento angular da primeira massa, mostrando que está diretamente relacionada à conservação do momento angular no sistema.

Exercícios de Livros Relacionados