Considere uma massa
em um campo gravitacional
, de modo que a força sobre
é
, onde
é um vetor constante apontando na direção vertical para baixo. Se a massa se move por um caminho arbitrário do ponto 1 ao ponto 2 , mostre que o trabalho realizado pela gravidade é
, onde
é a altura vertical entre os pontos 1 e 2 . Use esse resultado para mostrar que a força da gravidade é conservativa (pelo menos, em uma região suficientemente pequena onde
pode ser considerada constante). Mostre que, se escolhermos eixos com
medido verticalmente para cima, a energia potencial gravitacional é
(se escolhermos
na origem).
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma massa
sujeita a um campo gravitacional
, que é constante e aponta para baixo. A força exercida pela gravidade sobre a massa é
. A questão quer que mostremos que o trabalho realizado pela gravidade ao mover a massa de um ponto 1 para um ponto 2 é
, onde
é a diferença de altura entre os dois pontos. Além disso, precisamos usar esse resultado para demonstrar que a força da gravidade é conservativa e, por fim, definir a energia potencial gravitacional como
, considerando
na origem. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de trabalho, forças conservativas e energia potencial na física.
Passo 2
Vamos começar calculando o trabalho realizado pela força da gravidade. O trabalho
de uma força constante é dado por:
onde
é a força e
é o deslocamento.
Passo 3
No nosso caso, a força da gravidade é
, onde
aponta para baixo. Se o deslocamento
tem uma componente vertical
(a diferença de altura entre os pontos 1 e 2), então o ângulo entre
e
é 180 graus se
for para baixo ou 0 graus se for para cima.
Passo 4
Considerando que
é a altura vertical e está na direção oposta à força da gravidade (se
é positivo para cima), o trabalho realizado pela gravidade será:
Portanto, mostramos que o trabalho realizado pela gravidade ao mover a massa de 1 para 2 é
.
Passo 5
Agora, vamos mostrar que a força da gravidade é conservativa. Uma força é conservativa se o trabalho realizado por ela em uma trajetória fechada (voltando ao ponto inicial) for zero. Pelo que acabamos de ver, o trabalho depende apenas da diferença de altura
e não do caminho seguido. Assim, se a massa voltar ao ponto inicial,
será zero e o trabalho total será zero, confirmando que a força da gravidade é conservativa.
Passo 6
Finalmente, vamos definir a energia potencial gravitacional
. Sabemos que para forças conservativas, o trabalho realizado pode ser relacionado à variação da energia potencial:
Como encontramos que
, podemos igualar:
Escolhendo
na origem (quando
), a energia potencial em um ponto com coordenada vertical
será:
Resposta
O trabalho realizado pela gravidade ao mover a massa de 1 para 2 é
, a força da gravidade é conservativa, e a energia potencial gravitacional é
escolhendo
na origem.