Considere uma massa em um campo gravitacional , de modo que a força sobre é , onde é um vetor constante apontando na direção vertical para baixo. Se a massa se move por um caminho arbitrário do ponto 1 ao ponto 2 , mostre que o trabalho realizado pela gravidade é , onde é a altura vertical entre os pontos 1 e 2 . Use esse resultado para mostrar que a força da gravidade é conservativa (pelo menos, em uma região suficientemente pequena onde pode ser considerada constante). Mostre que, se escolhermos eixos com medido verticalmente para cima, a energia potencial gravitacional é (se escolhermos na origem).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma massa sujeita a um campo gravitacional , que é constante e aponta para baixo. A força exercida pela gravidade sobre a massa é . A questão quer que mostremos que o trabalho realizado pela gravidade ao mover a massa de um ponto 1 para um ponto 2 é , onde é a diferença de altura entre os dois pontos. Além disso, precisamos usar esse resultado para demonstrar que a força da gravidade é conservativa e, por fim, definir a energia potencial gravitacional como , considerando na origem. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de trabalho, forças conservativas e energia potencial na física.

Passo 2

Vamos começar calculando o trabalho realizado pela força da gravidade. O trabalho de uma força constante é dado por:
onde é a força e é o deslocamento.

Passo 3

No nosso caso, a força da gravidade é , onde aponta para baixo. Se o deslocamento tem uma componente vertical (a diferença de altura entre os pontos 1 e 2), então o ângulo entre e é 180 graus se for para baixo ou 0 graus se for para cima.

Passo 4

Considerando que é a altura vertical e está na direção oposta à força da gravidade (se é positivo para cima), o trabalho realizado pela gravidade será:
Portanto, mostramos que o trabalho realizado pela gravidade ao mover a massa de 1 para 2 é .

Passo 5

Agora, vamos mostrar que a força da gravidade é conservativa. Uma força é conservativa se o trabalho realizado por ela em uma trajetória fechada (voltando ao ponto inicial) for zero. Pelo que acabamos de ver, o trabalho depende apenas da diferença de altura e não do caminho seguido. Assim, se a massa voltar ao ponto inicial, será zero e o trabalho total será zero, confirmando que a força da gravidade é conservativa.

Passo 6

Finalmente, vamos definir a energia potencial gravitacional . Sabemos que para forças conservativas, o trabalho realizado pode ser relacionado à variação da energia potencial:
Como encontramos que , podemos igualar:
Escolhendo na origem (quando ), a energia potencial em um ponto com coordenada vertical será:

Resposta

O trabalho realizado pela gravidade ao mover a massa de 1 para 2 é , a força da gravidade é conservativa, e a energia potencial gravitacional é escolhendo na origem.

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