Uma massa confinada ao eixo tem energia potencial , com . A integral do item (b) não pode ser calculada em termos de funções elementares, mas ela pode ser resolvida numericamente. Determine o período para o caso em que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma massa que se move ao longo do eixo e está sujeita a uma energia potencial dada por , onde . A gente precisa encontrar o período de oscilação dessa massa quando . Para resolver isso, vamos usar conceitos de Mecânica Clássica relacionados a oscilações e energia potencial. Vamos precisar entender como calcular o período de oscilações em um potencial não-linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o período de uma oscilação ( ) pode ser calculado usando a seguinte fórmula:
Aqui, é a massa, é a amplitude da oscilação, é a energia total da massa, e é a energia potencial.

Passo 3

Sabendo que no ponto de máxima amplitude , toda a energia está potencialmente armazenada, ou seja, . Então, substituindo por , temos:
Substituindo isso na fórmula do período:

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores fornecidos: , , e :
Essa integral não pode ser resolvida usando funções elementares, mas podemos calculá-la numericamente.

Passo 5

Para resolver numericamente a integral , podemos usar métodos de integração numérica, como a regra dos trapézios ou Simpson. Após realizar os cálculos, obtemos aproximadamente:
Multiplicando pelo fator :

Resposta

O período da oscilação é aproximadamente unidades de tempo.

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