Uma massa confinada ao eixo
tem energia potencial
, com
. A integral do item (b) não pode ser calculada em termos de funções elementares, mas ela pode ser resolvida numericamente. Determine o período para o caso em que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma massa que se move ao longo do eixo
e está sujeita a uma energia potencial dada por
, onde
. A gente precisa encontrar o período de oscilação dessa massa quando
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Mecânica Clássica relacionados a oscilações e energia potencial. Vamos precisar entender como calcular o período de oscilações em um potencial não-linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o período de uma oscilação (
) pode ser calculado usando a seguinte fórmula:
Aqui,
é a massa,
é a amplitude da oscilação,
é a energia total da massa, e
é a energia potencial.
Passo 3
Sabendo que no ponto de máxima amplitude
, toda a energia está potencialmente armazenada, ou seja,
. Então, substituindo
por
, temos:
Substituindo isso na fórmula do período:
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores fornecidos:
,
, e
:
Essa integral não pode ser resolvida usando funções elementares, mas podemos calculá-la numericamente.
Passo 5
Para resolver numericamente a integral
, podemos usar métodos de integração numérica, como a regra dos trapézios ou Simpson. Após realizar os cálculos, obtemos aproximadamente:
Multiplicando pelo fator
:
Resposta
O período da oscilação é aproximadamente
unidades de tempo.