Use a propriedade (4.35) do gradiente para mostrar os importantes resultados: O vetor em um ponto qualquer é perpendicular à superfície com constante em . (Escolha um pequeno deslocamento que esteja sobre a superfície com constante. O que é para tal deslocamento?)

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o vetor gradiente em qualquer ponto é perpendicular à superfície onde é constante naquele ponto. Para isso, vamos usar a propriedade do gradiente que relaciona a variação de com uma pequena movimentação . Precisamos entender o que acontece com quando nos movemos ao longo da superfície onde não muda, ou seja, é constante.

Passo 2

Primeiro, lembremos o que é o gradiente. O gradiente de uma função , denotado por , aponta na direção de maior aumento de e sua magnitude corresponde à taxa de variação máxima de . A propriedade chave que vamos usar é:
Isso significa que a variação infinitesimal de ao se mover uma pequena distância é igual ao produto escalar do gradiente de com esse deslocamento.

Passo 3

Agora, vamos considerar um pequeno deslocamento que está sobre a superfície onde é constante. Como não muda nessa superfície, a variação nesse deslocamento é zero:

Passo 4

Substituindo na equação do gradiente, temos:
Isso significa que o produto escalar entre e é zero.

Passo 5

Quando o produto escalar de dois vetores é zero, isso indica que os vetores são perpendiculares entre si. Portanto, é perpendicular a .

Passo 6

Como é um deslocamento qualquer na superfície onde é constante, concluímos que o gradiente é perpendicular a toda a superfície onde é constante.

Resposta

O vetor em qualquer ponto é perpendicular à superfície onde é constante naquele ponto.

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