Use a propriedade (4.35) do gradiente para mostrar os importantes resultados: O vetor
em um ponto qualquer
é perpendicular à superfície com
constante em
. (Escolha um pequeno deslocamento
que esteja sobre a superfície com
constante. O que é
para tal deslocamento?)
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o vetor gradiente
em qualquer ponto
é perpendicular à superfície onde
é constante naquele ponto. Para isso, vamos usar a propriedade do gradiente que relaciona a variação de
com uma pequena movimentação
. Precisamos entender o que acontece com
quando nos movemos ao longo da superfície onde
não muda, ou seja,
é constante.
Passo 2
Primeiro, lembremos o que é o gradiente. O gradiente de uma função
, denotado por
, aponta na direção de maior aumento de
e sua magnitude corresponde à taxa de variação máxima de
. A propriedade chave que vamos usar é:
Isso significa que a variação infinitesimal de
ao se mover uma pequena distância
é igual ao produto escalar do gradiente de
com esse deslocamento.
Passo 3
Agora, vamos considerar um pequeno deslocamento
que está sobre a superfície onde
é constante. Como
não muda nessa superfície, a variação
nesse deslocamento é zero:
Passo 4
Substituindo
na equação do gradiente, temos:
Isso significa que o produto escalar entre
e
é zero.
Passo 5
Quando o produto escalar de dois vetores é zero, isso indica que os vetores são perpendiculares entre si. Portanto,
é perpendicular a
.
Passo 6
Como
é um deslocamento qualquer na superfície onde
é constante, concluímos que o gradiente
é perpendicular a toda a superfície onde
é constante.
Resposta
O vetor
em qualquer ponto
é perpendicular à superfície onde
é constante naquele ponto.