Considere uma massa movendo-se em duas dimensões com energia potencial , , onde . Obtenha a Lagrangiana, usando coordenadas e , e determine as duas equações de movimento de Lagrange. Descreva as suas soluções. [Essa é a energia potencial de um íon em uma “armadilha iônica”, a qual pode ser usada para estudar as propriedades dos íons atômicos.]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Física que fala sobre uma massa se movendo em duas dimensões com uma energia potencial dada por , onde . O assunto aqui é Lagrangiana e Equações de Movimento na mecânica clássica. Para resolver, vamos precisar entender como montar a Lagrangiana e aplicar as Equações de Lagrange para encontrar as equações de movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Lagrangiana é definida como a diferença entre a energia cinética e a energia potencial :

Passo 3

Vamos calcular a energia cinética . Como a massa está se movendo em duas dimensões, a velocidade total é dada por:
Então, a energia cinética é:
Aqui, e representam as derivadas de e em relação ao tempo, ou seja, as velocidades nas direções e .

Passo 4

Agora, já temos a energia potencial . Substituindo e na expressão da Lagrangiana:

Passo 5

Com a Lagrangiana pronta, vamos usar as Equações de Lagrange para encontrar as equações de movimento. A Equação de Lagrange para uma coordenada é:
Vamos aplicar isso para e separadamente.

Passo 6

Primeiro, para a coordenada :
  • Calculamos
  • Derivando em relação ao tempo:
  • Calculamos
    Substituindo na Equação de Lagrange:

Passo 7

Agora, para a coordenada :
  • Calculamos
  • Derivando em relação ao tempo:
  • Calculamos
    Substituindo na Equação de Lagrange:

Passo 8

As equações de movimento que encontramos são:
Essas são equações diferenciais lineares de segunda ordem, semelhantes às de um oscilador harmônico simples em cada direção e .

Passo 9

Para resolver essas equações, observamos que são independentes e homogêneas. A solução geral para cada uma é uma combinação de funções seno e cosseno:
onde são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

A Lagrangiana é . As equações de movimento de Lagrange são e . Suas soluções são oscilações harmônicas nas direções e com frequência .

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