Considere uma massa
movendo-se em duas dimensões com energia potencial
,
, onde
. Obtenha a Lagrangiana, usando coordenadas
e
, e determine as duas equações de movimento de Lagrange. Descreva as suas soluções. [Essa é a energia potencial de um íon em uma “armadilha iônica”, a qual pode ser usada para estudar as propriedades dos íons atômicos.]
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Física que fala sobre uma massa
se movendo em duas dimensões com uma energia potencial dada por
, onde
. O assunto aqui é Lagrangiana e Equações de Movimento na mecânica clássica. Para resolver, vamos precisar entender como montar a Lagrangiana e aplicar as Equações de Lagrange para encontrar as equações de movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a Lagrangiana
é definida como a diferença entre a energia cinética
e a energia potencial
:
Passo 3
Vamos calcular a energia cinética
. Como a massa está se movendo em duas dimensões, a velocidade total
é dada por:
Então, a energia cinética é:
Aqui,
e
representam as derivadas de
e
em relação ao tempo, ou seja, as velocidades nas direções
e
.
Passo 4
Agora, já temos a energia potencial
. Substituindo
e
na expressão da Lagrangiana:
Passo 5
Com a Lagrangiana pronta, vamos usar as Equações de Lagrange para encontrar as equações de movimento. A Equação de Lagrange para uma coordenada
é:
Vamos aplicar isso para
e
separadamente.
Passo 6
Primeiro, para a coordenada
:
- Calculamos
- Derivando em relação ao tempo:
- Calculamos
Substituindo na Equação de Lagrange:
Passo 7
Agora, para a coordenada
:
- Calculamos
- Derivando em relação ao tempo:
- Calculamos
Substituindo na Equação de Lagrange:
Passo 8
As equações de movimento que encontramos são:
Essas são equações diferenciais lineares de segunda ordem, semelhantes às de um oscilador harmônico simples em cada direção
e
.
Passo 9
Para resolver essas equações, observamos que são independentes e homogêneas. A solução geral para cada uma é uma combinação de funções seno e cosseno:
onde
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Resposta
A Lagrangiana é
. As equações de movimento de Lagrange são
e
. Suas soluções são oscilações harmônicas nas direções
e
com frequência
.