Duas massas iguais, , estão conectadas por uma mola, de massa desprezível, de comprimento , que passa através de um orifício, em uma mesa horizontal sem atrito. A primeira massa desliza sobre a mesa, enquanto a segunda está pendurada abaixo da mesa e se move para cima e para baixo em uma linha vertical. Assumindo que a mola permanece esticada, escreva a Lagrangiana para o sistema em termos de coordenadas polares da massa sobre a mesa.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas massas iguais, cada uma com massa , conectadas por uma mola sem massa e de comprimento . A mola passa por um orifício em uma mesa sem atrito. Uma das massas desliza na mesa, e a outra está pendurada abaixo dela, movendo-se para cima e para baixo. A gente precisa escrever a Lagrangiana desse sistema usando coordenadas polares ( ) para a massa que está na mesa. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de energia cinética, energia potencial e como montar a Lagrangiana ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos definir as coordenadas que vamos usar. A massa que está na mesa vai se mover em coordenadas polares, ou seja, com um raio e um ângulo . A outra massa está pendurada, então seu movimento é apenas vertical. Como a mola tem comprimento e está sempre esticada, podemos relacionar a posição vertical da massa pendurada ( ) com o raio pela relação de Pitágoras:
Isso significa que:

Passo 3

Agora, vamos calcular a energia cinética ( ) do sistema. A energia cinética da massa na mesa em coordenadas polares é dada por:
Aqui, é a velocidade radial e é a velocidade angular.

Passo 4

Para a massa pendurada, o movimento é apenas vertical. A velocidade vertical ( ) pode ser encontrada derivando em relação ao tempo:
Então, a energia cinética da massa pendurada é:

Passo 5

Agora, vamos calcular a energia potencial ( ) do sistema. A única energia potencial aqui vem da massa pendurada devido à gravidade. A altura da massa pendurada em relação à posição de equilíbrio é , então a energia potencial é:

Passo 6

Com as energias cinética e potencial calculadas, podemos montar a Lagrangiana ( ) do sistema, que é dada por:
Onde é a soma das energias cinética das duas massas:
E é a energia potencial que já calculamos.

Resposta

A Lagrangiana do sistema em coordenadas polares é:

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