Duas massas iguais,
, estão conectadas por uma mola, de massa desprezível, de comprimento
, que passa através de um orifício, em uma mesa horizontal sem atrito. A primeira massa desliza sobre a mesa, enquanto a segunda está pendurada abaixo da mesa e se move para cima e para baixo em uma linha vertical. Assumindo que a mola permanece esticada, escreva a Lagrangiana para o sistema em termos de coordenadas polares
da massa sobre a mesa.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas massas iguais, cada uma com massa
, conectadas por uma mola sem massa e de comprimento
. A mola passa por um orifício em uma mesa sem atrito. Uma das massas desliza na mesa, e a outra está pendurada abaixo dela, movendo-se para cima e para baixo. A gente precisa escrever a Lagrangiana desse sistema usando coordenadas polares (
) para a massa que está na mesa. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de energia cinética, energia potencial e como montar a Lagrangiana (
).
Passo 2
Primeiro, vamos definir as coordenadas que vamos usar. A massa que está na mesa vai se mover em coordenadas polares, ou seja, com um raio
e um ângulo
. A outra massa está pendurada, então seu movimento é apenas vertical. Como a mola tem comprimento
e está sempre esticada, podemos relacionar a posição vertical da massa pendurada (
) com o raio
pela relação de Pitágoras:
Isso significa que:
Passo 3
Agora, vamos calcular a energia cinética (
) do sistema. A energia cinética da massa na mesa em coordenadas polares é dada por:
Aqui,
é a velocidade radial e
é a velocidade angular.
Passo 4
Para a massa pendurada, o movimento é apenas vertical. A velocidade vertical (
) pode ser encontrada derivando
em relação ao tempo:
Então, a energia cinética da massa pendurada é:
Passo 5
Agora, vamos calcular a energia potencial (
) do sistema. A única energia potencial aqui vem da massa pendurada devido à gravidade. A altura
da massa pendurada em relação à posição de equilíbrio é
, então a energia potencial é:
Passo 6
Com as energias cinética e potencial calculadas, podemos montar a Lagrangiana (
) do sistema, que é dada por:
Onde
é a soma das energias cinética das duas massas:
E
é a energia potencial que já calculamos.
Resposta
A Lagrangiana do sistema em coordenadas polares
é: