Considere duas partículas movendo-se sem vínculos em três dimensões, com energia potencial
. Obtenha as seis equações de movimento a partir da aplicação da seguna lei de Newton para cada partícula.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre duas partículas que estão se movendo sem nenhum tipo de conexão entre elas, no espaço tridimensional. A energia potencial do sistema é dada por
, que depende das posições das duas partículas. Nosso objetivo é encontrar as seis equações de movimento usando a segunda lei de Newton para cada partícula. Para isso, vamos precisar entender a segunda lei de Newton e como a energia potencial está relacionada à força.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que diz a segunda lei de Newton. Ela afirma que a força resultante que atua sobre uma partícula é igual ao produto de sua massa pela sua aceleração. Matemáticamente, isso é expresso como:
onde:
-
é a força resultante, -
é a massa da partícula, -
é a aceleração da partícula.
Passo 3
Agora, vamos relacionar a força com a energia potencial. A força pode ser obtida a partir da energia potencial usando o gradiente negativo:
Isso significa que a força atua na direção em que a energia potencial diminui mais rapidamente.
Passo 4
Como temos duas partículas, vamos aplicar a segunda lei de Newton para cada uma delas separadamente. Vamos considerar as posições das partículas como vetores
e
.
Passo 5
Para a primeira partícula, a força será:
Aplicando a segunda lei de Newton:
Passo 6
Fazendo o mesmo para a segunda partícula:
E aplicando a segunda lei de Newton:
Passo 7
Agora, vamos detalhar essas equações em termos das componentes
,
e
para cada partícula. Primeiro, para a primeira partícula:
Passo 8
E para a segunda partícula:
Resposta
As seis equações de movimento são:
Para a Partícula 1:
Para a Partícula 2: