Considere duas partículas movendo-se sem vínculos em três dimensões, com energia potencial . Obtenha as seis equações de movimento a partir da aplicação da seguna lei de Newton para cada partícula.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre duas partículas que estão se movendo sem nenhum tipo de conexão entre elas, no espaço tridimensional. A energia potencial do sistema é dada por , que depende das posições das duas partículas. Nosso objetivo é encontrar as seis equações de movimento usando a segunda lei de Newton para cada partícula. Para isso, vamos precisar entender a segunda lei de Newton e como a energia potencial está relacionada à força.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz a segunda lei de Newton. Ela afirma que a força resultante que atua sobre uma partícula é igual ao produto de sua massa pela sua aceleração. Matemáticamente, isso é expresso como:
onde:
  • é a força resultante,
  • é a massa da partícula,
  • é a aceleração da partícula.

Passo 3

Agora, vamos relacionar a força com a energia potencial. A força pode ser obtida a partir da energia potencial usando o gradiente negativo:
Isso significa que a força atua na direção em que a energia potencial diminui mais rapidamente.

Passo 4

Como temos duas partículas, vamos aplicar a segunda lei de Newton para cada uma delas separadamente. Vamos considerar as posições das partículas como vetores e .

Passo 5

Para a primeira partícula, a força será:
Aplicando a segunda lei de Newton:

Passo 6

Fazendo o mesmo para a segunda partícula:
E aplicando a segunda lei de Newton:

Passo 7

Agora, vamos detalhar essas equações em termos das componentes , e para cada partícula. Primeiro, para a primeira partícula:

Passo 8

E para a segunda partícula:

Resposta

As seis equações de movimento são:
Para a Partícula 1:
Para a Partícula 2:

Exercícios de Livros Relacionados