Considere uma massa
movendo-se em uma rampa, sem atrito, que tem uma declividade com ângulo
com a horizontal. Obtenha a Lagrangiana em termos da coordenada
, medida horizontalmente através da rampa, e da coordenada
, medida para baixo da rampa. (Trate o sistema como bidimensional, mas inclua a energia potencial gravitacional.) Determine as duas equações de Lagrange e mostre que elas são o que você esperava.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma massa
se movendo em uma rampa inclinada com um ângulo
em relação à horizontal, sem atrito. A gente precisa encontrar a Lagrangiana usando duas coordenadas:
(horizontalmente ao longo da rampa) e
(verticalmente para baixo da rampa). Além disso, vamos considerar a energia potencial gravitacional e, por fim, determinar as duas equações de Lagrange para mostrar que estão de acordo com o que esperamos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Mecânica Lagrangiana, como energia cinética, energia potencial e as equações de Lagrange.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as coordenadas
e
. A coordenada
é medida horizontalmente ao longo da rampa, e
é medida verticalmente para baixo da rampa. Como a rampa está inclinada em um ângulo
, podemos relacionar
e
com as posições horizontais e verticais reais.
Passo 3
Agora, vamos expressar as posições horizontal (
) e vertical (
) da massa em termos de
e
. Como a rampa está inclinada, temos:
Passo 4
Em seguida, precisamos encontrar as velocidades horizontal (
) e vertical (
) derivando
e
em relação ao tempo:
Passo 5
A energia cinética
é dada por:
Substituindo
e
:
Passo 6
Expandindo os termos:
Simplificando:
Como
:
Passo 7
Agora, vamos calcular a energia potencial
. Como estamos considerando a energia potencial gravitacional e
é a coordenada vertical para baixo da rampa, temos:
Passo 8
A Lagrangiana
é definida como a diferença entre a energia cinética e a energia potencial:
Passo 9
Agora, vamos aplicar as equações de Lagrange. Para cada coordenada generalizada
(neste caso,
e
), temos:
Vamos calcular para
e
.
Passo 10
Para a coordenada
:
Então, a equação de Lagrange para
fica:
Passo 11
Para a coordenada
:
Então, a equação de Lagrange para
fica:
Resposta
A Lagrangiana do sistema é
. As equações de Lagrange obtidas são
e
, o que está de acordo com o esperado, indicando que não há aceleração na direção
e uma aceleração constante para baixo na direção
.