Considere uma massa movendo-se em uma rampa, sem atrito, que tem uma declividade com ângulo com a horizontal. Obtenha a Lagrangiana em termos da coordenada , medida horizontalmente através da rampa, e da coordenada , medida para baixo da rampa. (Trate o sistema como bidimensional, mas inclua a energia potencial gravitacional.) Determine as duas equações de Lagrange e mostre que elas são o que você esperava.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma massa se movendo em uma rampa inclinada com um ângulo em relação à horizontal, sem atrito. A gente precisa encontrar a Lagrangiana usando duas coordenadas: (horizontalmente ao longo da rampa) e (verticalmente para baixo da rampa). Além disso, vamos considerar a energia potencial gravitacional e, por fim, determinar as duas equações de Lagrange para mostrar que estão de acordo com o que esperamos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Mecânica Lagrangiana, como energia cinética, energia potencial e as equações de Lagrange.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as coordenadas e . A coordenada é medida horizontalmente ao longo da rampa, e é medida verticalmente para baixo da rampa. Como a rampa está inclinada em um ângulo , podemos relacionar e com as posições horizontais e verticais reais.

Passo 3

Agora, vamos expressar as posições horizontal ( ) e vertical ( ) da massa em termos de e . Como a rampa está inclinada, temos:

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar as velocidades horizontal ( ) e vertical ( ) derivando e em relação ao tempo:

Passo 5

A energia cinética é dada por:
Substituindo e :

Passo 6

Expandindo os termos:
Simplificando:
Como :

Passo 7

Agora, vamos calcular a energia potencial . Como estamos considerando a energia potencial gravitacional e é a coordenada vertical para baixo da rampa, temos:

Passo 8

A Lagrangiana é definida como a diferença entre a energia cinética e a energia potencial:

Passo 9

Agora, vamos aplicar as equações de Lagrange. Para cada coordenada generalizada (neste caso, e ), temos:
Vamos calcular para e .

Passo 10

Para a coordenada :
Então, a equação de Lagrange para fica:

Passo 11

Para a coordenada :
Então, a equação de Lagrange para fica:

Resposta

A Lagrangiana do sistema é . As equações de Lagrange obtidas são e , o que está de acordo com o esperado, indicando que não há aceleração na direção e uma aceleração constante para baixo na direção .

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