Uma partícula está confinada a mover-se sobre uma superfície de um cone circular, com seu eixo sobre o eixo vertical
, o vértice na origem (apontando para baixo), e ângulo de abertura
. Suponha que seja dado um pequeno impulso radial à partícula, de modo que
, onde
é pequeno. Use a equação
para decidir se a trajetória circular é estável. Se sim, com que frequência
oscila em torno de
?
Passo 1
Então, temos uma partícula que se move sobre a superfície de um cone circular com ângulo de abertura
. A partícula está em trajetória circular de raio
e recebe um pequeno impulso radial, fazendo com que seu raio seja
, onde
é bem pequeno. Nosso objetivo é verificar se essa trajetória circular é estável e, se for, determinar a frequência das oscilações de
em torno de
. Vamos usar conceitos de dinâmica e equilíbrio para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa estabilidade da trajetória circular. Se a partícula for perturbada levemente do seu raio
, queremos saber se ela tende a voltar ao
ou se se afasta cada vez mais. Para isso, vamos analisar as forças atuantes na partícula e aplicar a segunda lei de Newton na direção radial.
Passo 3
Na direção radial, temos duas forças principais: a força centrípeta necessária para manter a partícula em movimento circular e a componente da força gravitacional que atua radialmente devido à inclinação do cone. A força centrípeta é dada por
, onde
é a velocidade da partícula. A componente da gravidade na direção radial é
, já que o ângulo do cone
determina essa decomposição.
Passo 4
Para a trajetória circular ser estável, devemos ter um equilíbrio entre essas forças quando
. Assim, estabelecemos a condição de equilíbrio:
Isso nos permite relacionar a velocidade circular
com o raio
.
Passo 5
Agora, consideramos uma pequena perturbação
no raio. A nova força radial fica:
Aqui,
representa uma pequena variação na velocidade devido à perturbação.
Passo 6
Aplicando a segunda lei de Newton na direção radial para a perturbação, temos:
Isso resulta em uma equação diferencial para
:
Passo 7
Essa é uma equação diferencial harmônica simples, cuja solução é:
Onde
é a frequência angular das oscilações e está dada por:
Passo 8
Substituindo
da condição de equilíbrio
, obtemos:
Resposta
Sim, a trajetória circular é estável. A frequência das oscilações do raio
em torno de
é
.