Uma partícula está confinada a mover-se sobre uma superfície de um cone circular, com seu eixo sobre o eixo vertical , o vértice na origem (apontando para baixo), e ângulo de abertura . Suponha que seja dado um pequeno impulso radial à partícula, de modo que , onde é pequeno. Use a equação para decidir se a trajetória circular é estável. Se sim, com que frequência oscila em torno de ?

Passo 1

Então, temos uma partícula que se move sobre a superfície de um cone circular com ângulo de abertura . A partícula está em trajetória circular de raio e recebe um pequeno impulso radial, fazendo com que seu raio seja , onde é bem pequeno. Nosso objetivo é verificar se essa trajetória circular é estável e, se for, determinar a frequência das oscilações de em torno de . Vamos usar conceitos de dinâmica e equilíbrio para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa estabilidade da trajetória circular. Se a partícula for perturbada levemente do seu raio , queremos saber se ela tende a voltar ao ou se se afasta cada vez mais. Para isso, vamos analisar as forças atuantes na partícula e aplicar a segunda lei de Newton na direção radial.

Passo 3

Na direção radial, temos duas forças principais: a força centrípeta necessária para manter a partícula em movimento circular e a componente da força gravitacional que atua radialmente devido à inclinação do cone. A força centrípeta é dada por , onde é a velocidade da partícula. A componente da gravidade na direção radial é , já que o ângulo do cone determina essa decomposição.

Passo 4

Para a trajetória circular ser estável, devemos ter um equilíbrio entre essas forças quando . Assim, estabelecemos a condição de equilíbrio:
Isso nos permite relacionar a velocidade circular com o raio .

Passo 5

Agora, consideramos uma pequena perturbação no raio. A nova força radial fica:
Aqui, representa uma pequena variação na velocidade devido à perturbação.

Passo 6

Aplicando a segunda lei de Newton na direção radial para a perturbação, temos:
Isso resulta em uma equação diferencial para :

Passo 7

Essa é uma equação diferencial harmônica simples, cuja solução é:
Onde é a frequência angular das oscilações e está dada por:

Passo 8

Substituindo da condição de equilíbrio , obtemos:

Resposta

Sim, a trajetória circular é estável. A frequência das oscilações do raio em torno de é .

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