Considere uma massa movendo-se em duas dimensões, sujeita a uma única força que independente de e de . Determine a energia potencial e a Hamiltoniana .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a energia potencial e a Hamiltoniana de uma massa que se move em duas dimensões. Ela está sob a ação de uma única força que não depende da posição nem do tempo . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de mecânica clássica, especialmente conceitos de energia potencial e Hamiltoniana.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na força que atua na massa. Como a força é independente de e , isso significa que ela é constante em magnitude e direção. Vamos chamar essa força de .

Passo 3

A energia potencial está relacionada à força através da relação:
Aqui, representa o operador nabla, que dá as derivadas parciais de em relação às coordenadas espaciais.

Passo 4

Como é constante, vamos integrar a relação para encontrar . Supondo que a força seja , a energia potencial será:
Onde é uma constante de integração que geralmente podemos considerar zero se escolhermos que em algum ponto de referência.

Passo 5

Agora, vamos construir a Hamiltoniana , que é a soma da energia cinética e da energia potencial :
A energia cinética para uma massa em duas dimensões é:
Onde e são as velocidades nas direções e .

Passo 6

Substituindo na expressão da Hamiltoniana, temos:

Resposta

A energia potencial é e a Hamiltoniana é .

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