Considere uma massa
movendo-se em duas dimensões, sujeita a uma única força que independente de
e de
. Determine a energia potencial
e a Hamiltoniana
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a energia potencial
e a Hamiltoniana
de uma massa
que se move em duas dimensões. Ela está sob a ação de uma única força que não depende da posição
nem do tempo
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de mecânica clássica, especialmente conceitos de energia potencial e Hamiltoniana.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na força que atua na massa. Como a força é independente de
e
, isso significa que ela é constante em magnitude e direção. Vamos chamar essa força de
.
Passo 3
A energia potencial
está relacionada à força através da relação:
Aqui,
representa o operador nabla, que dá as derivadas parciais de
em relação às coordenadas espaciais.
Passo 4
Como
é constante, vamos integrar a relação para encontrar
. Supondo que a força seja
, a energia potencial será:
Onde
é uma constante de integração que geralmente podemos considerar zero se escolhermos que
em algum ponto de referência.
Passo 5
Agora, vamos construir a Hamiltoniana
, que é a soma da energia cinética
e da energia potencial
:
A energia cinética para uma massa
em duas dimensões é:
Onde
e
são as velocidades nas direções
e
.
Passo 6
Substituindo
na expressão da Hamiltoniana, temos:
Resposta
A energia potencial é
e a Hamiltoniana é
.