O vagão de uma montanha-russa, com massa , se move ao longo dos trilhos que estão sobre o plano ( horizontal e verticalmente para cima). A altura do trilho acima do solo é dada por . Determine as equações de Hamilton e mostre que elas concordam com o que você obteria usando o formalismo Newtoniano. [Sugestão: você sabe, da Seção 4.7, que a segunda lei de Newton assume a forma , onde é a distância medida ao longo do trilho. Reescreva essa equação como uma equação para e mostre que você obtém o mesmo resultado a partir das equações de Hamilton.]

Passo 1

Ok, vamos lá! O problema fala sobre um vagão de montanha-russa com massa que se move em trilhos definidos pela função . A gente precisa encontrar as equações de Hamilton para esse sistema e mostrar que elas combinam com o que a gente obteria usando a Segunda Lei de Newton. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de mecânica clássica, especialmente sobre energia cinética, potencial e como formular as equações de movimento usando Hamilton.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que nas equações de Hamilton, usamos duas grandezas chamadas coordenadas generalizadas e os momentos conjugados . No nosso caso, podemos escolher a coordenada como a coordenada generalizada, já que depende de . O momento conjugado é então dado por:
onde é o Lagrangiano do sistema, definido como (energia cinética menos energia potencial).

Passo 3

Vamos calcular a energia cinética . Como o vagão se move ao longo do trilho, sua velocidade tem componentes em e . Usando derivadas, temos:
Então, a velocidade total é:
E a energia cinética fica:

Passo 4

Agora, a energia potencial é devido à gravidade. Já que a altura é , temos:
onde é a aceleração da gravidade.

Passo 5

Com e definidos, o Lagrangiano fica:

Passo 6

Agora, calculamos o momento conjugado :
Esse é o momento associado à coordenada .

Passo 7

As equações de Hamilton são dadas por:
onde é o Hamiltoniano, que é a soma da energia cinética e potencial expressa em termos de e .

Passo 8

Vamos encontrar o Hamiltoniano . Primeiro, expressamos a energia cinética em termos de :
Então, o Hamiltoniano fica:

Passo 9

Agora, aplicamos as equações de Hamilton:
Simplificando:

Passo 10

Agora, vamos relacionar isso com a Segunda Lei de Newton no formalismo sugerido , onde é a distância ao longo do trilho. Primeiro, encontramos rearranjando:
Substituindo da equação anterior, após simplificar, obtemos a mesma expressão que a Segunda Lei de Newton no formalismo dado.

Resposta

As equações de Hamilton para o vagão são:
E essas concordam com o que se obtém usando o formalismo Newtoniano.

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