O vagão de uma montanha-russa, com massa
, se move ao longo dos trilhos que estão sobre o plano
(
horizontal e
verticalmente para cima). A altura do trilho acima do solo é dada por
. Determine as equações de Hamilton e mostre que elas concordam com o que você obteria usando o formalismo Newtoniano. [Sugestão: você sabe, da Seção 4.7, que a segunda lei de Newton assume a forma
, onde
é a distância medida ao longo do trilho. Reescreva essa equação como uma equação para
e mostre que você obtém o mesmo resultado a partir das equações de Hamilton.]
Passo 1
Ok, vamos lá! O problema fala sobre um vagão de montanha-russa com massa
que se move em trilhos definidos pela função
. A gente precisa encontrar as equações de Hamilton para esse sistema e mostrar que elas combinam com o que a gente obteria usando a Segunda Lei de Newton. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de mecânica clássica, especialmente sobre energia cinética, potencial e como formular as equações de movimento usando Hamilton.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que nas equações de Hamilton, usamos duas grandezas chamadas coordenadas generalizadas
e os momentos conjugados
. No nosso caso, podemos escolher a coordenada
como a coordenada generalizada, já que
depende de
. O momento conjugado
é então dado por:
onde
é o Lagrangiano do sistema, definido como
(energia cinética menos energia potencial).
Passo 3
Vamos calcular a energia cinética
. Como o vagão se move ao longo do trilho, sua velocidade tem componentes em
e
. Usando derivadas, temos:
Então, a velocidade total
é:
E a energia cinética fica:
Passo 4
Agora, a energia potencial
é devido à gravidade. Já que a altura é
, temos:
onde
é a aceleração da gravidade.
Passo 5
Com
e
definidos, o Lagrangiano
fica:
Passo 6
Agora, calculamos o momento conjugado
:
Esse é o momento associado à coordenada
.
Passo 7
As equações de Hamilton são dadas por:
onde
é o Hamiltoniano, que é a soma da energia cinética e potencial expressa em termos de
e
.
Passo 8
Vamos encontrar o Hamiltoniano
. Primeiro, expressamos a energia cinética em termos de
:
Então, o Hamiltoniano fica:
Passo 9
Agora, aplicamos as equações de Hamilton:
Simplificando:
Passo 10
Agora, vamos relacionar isso com a Segunda Lei de Newton no formalismo sugerido
, onde
é a distância ao longo do trilho. Primeiro, encontramos
rearranjando:
Substituindo
da equação anterior, após simplificar, obtemos a mesma expressão que a Segunda Lei de Newton no formalismo dado.
Resposta
As equações de Hamilton para o vagão são:
E essas concordam com o que se obtém usando o formalismo Newtoniano.