Considere uma partícula de massa compelida a mover-se sobre um cilindro de raio , sem atrito, dado pela equação em coordenadas cilíndricas polares . A massa está sujeita a apenas uma força externa, , onde é uma constante positiva, é a sua distância a partir da origem e é o vetor unitário apontando na direção para fora da origem, como de costume. Usando e como coordenadas generalizadas, determine a Hamiltoniana . Obtenha e resolva as equações de Hamilton, e descreva o movimento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de mecânica clássica onde uma partícula de massa está se movendo sobre um cilindro sem atrito de raio . A partícula está sob a ação de uma força externa , onde é uma constante positiva, é a distância da partícula à origem, e é o vetor unitário na direção radial. Vamos usar as coordenadas generalizadas e para determinar a Hamiltoniana , obter e resolver as equações de Hamilton, e descrever o movimento da partícula.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é a Hamiltoniana. Em mecânica clássica, a Hamiltoniana representa a energia total do sistema, que é a soma da energia cinética e da energia potencial :
Vamos calcular e em termos das coordenadas generalizadas e .

Passo 3

Energia Cinética :
Como a partícula está se movendo sobre um cilindro de raio fixo , suas coordenadas cilíndricas são , , e . A expressão geral para a energia cinética em coordenadas cilíndricas é:
Mas como é constante, . Portanto, a energia cinética simplifica para:
Energia Potencial :
A energia potencial está associada à força externa . A energia potencial é a integral negativa da força em relação à posição:
Em coordenadas cilíndricas, . Como , temos:
Portanto, a energia potencial fica:

Passo 4

Agora, vamos somar a energia cinética e a energia potencial para obter a Hamiltoniana :

Passo 5

Para trabalhar com a Hamiltoniana, precisamos expressá-la em termos das coordenadas generalizadas e e seus momentos canônicos e . Os momentos canônicos são definidos como:
onde é o Lagrangiano. Calculando para cada coordenada:
  • Para :
  • Para :
Agora, podemos expressar as velocidades e em termos dos momentos:
Substituindo essas expressões na Hamiltoniana:

Passo 6

Agora que temos a Hamiltoniana, vamos obter as equações de Hamilton. As equações de Hamilton são dadas por:
Vamos aplicar isso para cada coordenada generalizada e .
Para :
Como não depende de , , o que significa que é constante.
Para :
Agora temos um sistema de equações diferenciais para e .

Passo 7

Vamos resolver as equações de Hamilton que obtivemos para e :
Podemos combinar essas duas equações para obter uma equação diferencial de segunda ordem para :
Essa é a equação de um oscilador harmônico simples com frequência angular .
A solução geral para é:
onde e são constantes determináveis pelas condições iniciais.
Para , como é constante, a equação indica que aumenta ou diminui de forma linear com o tempo, dependendo do sinal de :
onde é a velocidade angular constante, e é a fase inicial.

Resposta

A Hamiltoniana do sistema é
As equações de Hamilton levam a um movimento harmônico simples para :
e uma rotação angular com velocidade constante para :
Portanto, a partícula oscila verticalmente no cilindro enquanto gira com velocidade angular constante.

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