Considere uma partícula de massa
compelida a mover-se sobre um cilindro de raio
, sem atrito, dado pela equação
em coordenadas cilíndricas polares
. A massa está sujeita a apenas uma força externa,
, onde
é uma constante positiva,
é a sua distância a partir da origem e
é o vetor unitário apontando na direção para fora da origem, como de costume. Usando
e
como coordenadas generalizadas, determine a Hamiltoniana
. Obtenha e resolva as equações de Hamilton, e descreva o movimento.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de mecânica clássica onde uma partícula de massa
está se movendo sobre um cilindro sem atrito de raio
. A partícula está sob a ação de uma força externa
, onde
é uma constante positiva,
é a distância da partícula à origem, e
é o vetor unitário na direção radial. Vamos usar as coordenadas generalizadas
e
para determinar a Hamiltoniana
, obter e resolver as equações de Hamilton, e descrever o movimento da partícula.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é a Hamiltoniana. Em mecânica clássica, a Hamiltoniana
representa a energia total do sistema, que é a soma da energia cinética
e da energia potencial
:
Vamos calcular
e
em termos das coordenadas generalizadas
e
.
Passo 3
Energia Cinética
:
Como a partícula está se movendo sobre um cilindro de raio fixo
, suas coordenadas cilíndricas são
,
, e
. A expressão geral para a energia cinética em coordenadas cilíndricas é:
Mas como
é constante,
. Portanto, a energia cinética simplifica para:
Energia Potencial
:
A energia potencial está associada à força externa
. A energia potencial
é a integral negativa da força em relação à posição:
Em coordenadas cilíndricas,
. Como
, temos:
Portanto, a energia potencial fica:
Passo 4
Agora, vamos somar a energia cinética e a energia potencial para obter a Hamiltoniana
:
Passo 5
Para trabalhar com a Hamiltoniana, precisamos expressá-la em termos das coordenadas generalizadas
e
e seus momentos canônicos
e
. Os momentos canônicos são definidos como:
onde
é o Lagrangiano. Calculando para cada coordenada:
- Para
:
- Para
:
Agora, podemos expressar as velocidades
e
em termos dos momentos:
Substituindo essas expressões na Hamiltoniana:
Passo 6
Agora que temos a Hamiltoniana, vamos obter as equações de Hamilton. As equações de Hamilton são dadas por:
Vamos aplicar isso para cada coordenada generalizada
e
.
Para
:
Como
não depende de
,
, o que significa que
é constante.
Para
:
Agora temos um sistema de equações diferenciais para
e
.
Passo 7
Vamos resolver as equações de Hamilton que obtivemos para
e
:
Podemos combinar essas duas equações para obter uma equação diferencial de segunda ordem para
:
Essa é a equação de um oscilador harmônico simples com frequência angular
.
A solução geral para
é:
onde
e
são constantes determináveis pelas condições iniciais.
Para
, como
é constante, a equação
indica que
aumenta ou diminui de forma linear com o tempo, dependendo do sinal de
:
onde
é a velocidade angular constante, e
é a fase inicial.
Resposta
A Hamiltoniana do sistema é
As equações de Hamilton levam a um movimento harmônico simples para
:
e uma rotação angular com velocidade constante para
:
Portanto, a partícula oscila verticalmente no cilindro enquanto gira com velocidade angular constante.