Na discussão da oscilação do carrinho preso a uma extremidade de uma mola, quase sempre ignoramos a massa da mola. Obtenha a Hamiltoniana para o carrinho de massa preso a uma mola (constante da força ) cuja massa não é desprezível, usando a distensão da mola como a coordenada generalizada. Resolva as equações de Hamilton e mostre que a massa oscila com frequência angular . Isto é, o efeito da massa da mola é adicionar a . (Assuma que a massa da mola está distribuida uniformemente e que a mola é distendida de maneira uniforme.)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um carrinho de massa preso a uma mola com constante de força . Normalmente, ignoramos a massa da mola, mas aqui a massa da mola não pode ser desprezada. Precisamos encontrar a Hamiltoniana desse sistema usando a distensão da mola como a coordenada generalizada. Depois, resolveremos as equações de Hamilton para mostrar que a frequência angular da oscilação é . Para isso, vamos precisar entender conceitos de massa, mola, energia cinética e potencial, além de como formular a Hamiltoniana.

Passo 2

Vamos começar descrevendo a energia cinética do sistema. O carrinho de massa está se movendo com velocidade , então sua energia cinética é .
Mas a mola também tem massa distribuída uniformemente. Isso significa que cada parte da mola está se movendo com uma velocidade diferente, dependendo de sua posição. Para simplificar, assumimos que a velocidade em um ponto a uma distância do ponto de fixação é , onde é o comprimento natural da mola.

Passo 3

A energia cinética da mola pode ser encontrada integrando a energia cinética de cada pedaço. A energia cinética de um elemento da mola é . Integrando de a :

Passo 4

Então, a energia cinética total do sistema é a soma da energia cinética do carrinho e da mola:

Passo 5

Agora, vamos calcular a energia potencial da mola, que é dada por , onde é a distensão da mola.

Passo 6

A Hamiltoniana é definida como a energia total do sistema, ou seja, a soma da energia cinética e potencial:

Passo 7

Para obter as equações de Hamilton, precisamos das derivadas parciais da Hamiltoniana em relação às coordenadas generalizadas e aos momentos canônicos. O momento canônico é dado por:

Passo 8

As equações de Hamilton são:

Passo 9

Substituindo na primeira equação:
E na segunda equação:

Passo 10

Rearranjando a equação acima para obter a equação diferencial da oscilação:
Essa é a equação de um movimento harmônico simples, onde a frequência angular é dada por:

Resposta

A frequência angular da oscilação do carrinho é , demonstrando que a massa da mola adiciona à massa do carrinho.

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