Na discussão da oscilação do carrinho preso a uma extremidade de uma mola, quase sempre ignoramos a massa da mola. Obtenha a Hamiltoniana
para o carrinho de massa
preso a uma mola (constante da força
) cuja massa
não é desprezível, usando a distensão
da mola como a coordenada generalizada. Resolva as equações de Hamilton e mostre que a massa oscila com frequência angular
. Isto é, o efeito da massa da mola é adicionar
a
. (Assuma que a massa da mola está distribuida uniformemente e que a mola é distendida de maneira uniforme.)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um carrinho de massa
preso a uma mola com constante de força
. Normalmente, ignoramos a massa da mola, mas aqui a massa
da mola não pode ser desprezada. Precisamos encontrar a Hamiltoniana
desse sistema usando a distensão
da mola como a coordenada generalizada. Depois, resolveremos as equações de Hamilton para mostrar que a frequência angular da oscilação é
. Para isso, vamos precisar entender conceitos de massa, mola, energia cinética e potencial, além de como formular a Hamiltoniana.
Passo 2
Vamos começar descrevendo a energia cinética do sistema. O carrinho de massa
está se movendo com velocidade
, então sua energia cinética é
.
Mas a mola também tem massa
distribuída uniformemente. Isso significa que cada parte da mola está se movendo com uma velocidade diferente, dependendo de sua posição. Para simplificar, assumimos que a velocidade em um ponto a uma distância
do ponto de fixação é
, onde
é o comprimento natural da mola.
Passo 3
A energia cinética da mola pode ser encontrada integrando a energia cinética de cada pedaço. A energia cinética de um elemento
da mola é
. Integrando de
a
:
Passo 4
Então, a energia cinética total
do sistema é a soma da energia cinética do carrinho e da mola:
Passo 5
Agora, vamos calcular a energia potencial
da mola, que é dada por
, onde
é a distensão da mola.
Passo 6
A Hamiltoniana
é definida como a energia total do sistema, ou seja, a soma da energia cinética e potencial:
Passo 7
Para obter as equações de Hamilton, precisamos das derivadas parciais da Hamiltoniana em relação às coordenadas generalizadas e aos momentos canônicos. O momento canônico
é dado por:
Passo 8
As equações de Hamilton são:
Passo 9
Substituindo
na primeira equação:
E na segunda equação:
Passo 10
Rearranjando a equação acima para obter a equação diferencial da oscilação:
Essa é a equação de um movimento harmônico simples, onde a frequência angular
é dada por:
Resposta
A frequência angular da oscilação do carrinho é
, demonstrando que a massa da mola adiciona
à massa
do carrinho.