Considere uma massa presa na extremidade de uma mola com constante de elasticidade e impelida a mover-se ao longo do eixo horizontal . Se considerarmos a origem na posição de equilíbrio da mola, a energia potencial é . No instante a massa está parada na origem e é dado um impulso para a direita de modo que ela se move até um deslocamento máximo á e, a seguir, ela começa a oscilar em torno da origem. Resolva a expressão do item (b) para obter como uma função de e mostre que a massa executa o movimento do oscilador harmônico simples com período .

Passo 1

Vamos analisar o problema: temos uma massa presa a uma mola com constante elástica , movendo-se ao longo do eixo horizontal . A energia potencial da mola é dada por . No instante , a massa está na posição de equilíbrio ( ) e recebe um impulso que a faz deslocar-se até um máximo á, iniciando então oscilações ao redor da origem. Nosso objetivo é encontrar a posição em função do tempo e demonstrar que o sistema executa um movimento harmônico simples com período .
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de física sobre movimento harmônico simples, equações diferenciais e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar que a força restauradora exercida pela mola é proporcional ao deslocamento da massa em relação à posição de equilíbrio, de acordo com a Lei de Hooke:
Essa força causa uma aceleração na massa, conforme a segunda lei de Newton:
Isso nos leva à equação diferencial do movimento harmônico simples:

Passo 3

A solução geral dessa equação diferencial é uma combinação de funções seno e cosseno:
Onde e são constantes que determinam a posição inicial e a velocidade da massa, e é a frequência angular, dada por:

Passo 4

Vamos aplicar as condições iniciais para determinar as constantes e :
  1. Posição inicial ( ):
    A massa está na origem ( ):
  2. Velocidade inicial:
    A massa recebe um impulso que a leva a atingir á. Isso significa que a velocidade inicial é máxima. Derivando :
    No instante :
    Porém, sabemos que a massa atinge o deslocamento máximo , então a amplitude da oscilação será .

Passo 5

Com e reorganizando a solução, temos:
Substituindo :
Como a amplitude da oscilação é , temos:
Substituindo na expressão de :

Passo 6

Finalizando, identificamos que o movimento é harmônico simples com frequência angular . O período do movimento, que é o tempo para completar uma oscilação, está relacionado à frequência angular por:

Resposta

A posição da massa em função do tempo é:
E o sistema executa um movimento harmônico simples com período:

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