Considere uma massa
presa na extremidade de uma mola com constante de elasticidade
e impelida a mover-se ao longo do eixo horizontal
. Se considerarmos a origem na posição de equilíbrio da mola, a energia potencial é
. No instante
a massa está parada na origem e é dado um impulso para a direita de modo que ela se move até um deslocamento máximo
e, a seguir, ela começa a oscilar em torno da origem. Resolva a expressão do item (b) para obter
como uma função de
e mostre que a massa executa o movimento do oscilador harmônico simples com período
.
Passo 1
Vamos analisar o problema: temos uma massa
presa a uma mola com constante elástica
, movendo-se ao longo do eixo horizontal
. A energia potencial da mola é dada por
. No instante
, a massa está na posição de equilíbrio (
) e recebe um impulso que a faz deslocar-se até um máximo
, iniciando então oscilações ao redor da origem. Nosso objetivo é encontrar a posição
em função do tempo
e demonstrar que o sistema executa um movimento harmônico simples com período
.
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de física sobre movimento harmônico simples, equações diferenciais e propriedades das funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar que a força restauradora exercida pela mola é proporcional ao deslocamento da massa em relação à posição de equilíbrio, de acordo com a Lei de Hooke:
Essa força causa uma aceleração na massa, conforme a segunda lei de Newton:
Isso nos leva à equação diferencial do movimento harmônico simples:
Passo 3
A solução geral dessa equação diferencial é uma combinação de funções seno e cosseno:
Onde
e
são constantes que determinam a posição inicial e a velocidade da massa, e
é a frequência angular, dada por:
Passo 4
Vamos aplicar as condições iniciais para determinar as constantes
e
:
-
Posição inicial (
): A massa está na origem (): -
Velocidade inicial:A massa recebe um impulso que a leva a atingir
. Isso significa que a velocidade inicial é máxima. Derivando : No instante: Porém, sabemos que a massa atinge o deslocamento máximo, então a amplitude da oscilação será .
Passo 5
Com
e reorganizando a solução, temos:
Substituindo
:
Como a amplitude da oscilação é
, temos:
Substituindo
na expressão de
:
Passo 6
Finalizando, identificamos que o movimento é harmônico simples com frequência angular
. O período
do movimento, que é o tempo para completar uma oscilação, está relacionado à frequência angular por:
Resposta
A posição da massa em função do tempo é:
E o sistema executa um movimento harmônico simples com período: