Suponha que a força dependa do tempo , mas ainda satisfaça . É um fato matemático (relativo ao teorema de Stokes, como discutido no Problema 4.25) que a integral do trabalho (calculada em qualquer instante ) é independente do caminho considerado entre os pontos 1 e 2. Use isso para mostrar que a EP dependente do tempo definida em (4.48), para um tempo fixo qualquer, possui a propriedade conhecida . Você consegue observar o que está errado com o argumento de leva à Equação (4.19), isto é, a conservação da energia?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma força que depende do tempo e que tem o rotacional igual a zero, ou seja, . Isso está relacionado ao estudo de campos conservativos na Física, especificamente na área de Mecânica Clássica. Para resolver esse exercício, vamos precisar entender conceitos como trabalho realizado por uma força, campos conservativos, potenciais escalar, e conservação de energia. Vamos mostrar que, para um tempo fixo, a força pode ser expressa como o gradiente negativo de um potencial escalar , ou seja, . Além disso, vamos identificar o que está errado no argumento que leva à Equação (4.19) sobre a conservação da energia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que o rotacional de um campo vetorial é zero: . Isso implica que o campo é irrotacional e, portanto, conservativo, ou seja, o trabalho realizado por essa força entre dois pontos não depende do caminho percorrido, apenas dos pontos inicial e final. Matematicamente, isso significa que a integral do trabalho é independente do trajeto escolhido entre os pontos 1 e 2.

Passo 3

Como o trabalho realizado é independente do caminho, podemos definir um potencial escalar tal que a força é igual ao gradiente negativo desse potencial. Ou seja:
Essa relação mostra que a força pode ser derivada de um potencial, e essa é uma característica fundamental dos campos conservativos.

Passo 4

Agora, vamos ligar isso à Energia Potencial (EP). A energia potencial está definida de forma que o trabalho realizado pela força ao mover a partícula de um ponto a outro é igual à variação negativa da energia potencial. Como a força depende do tempo, o potencial também pode depender do tempo. Porém, mesmo com essa dependência temporal, a relação ainda se mantém para um tempo fixo.

Passo 5

A próxima parte do exercício pede para observarmos o que está errado no argumento que leva à Equação (4.19), que trata da conservação da energia. Geralmente, a conservação da energia pressupõe que a energia total (cinética mais potencial) permanece constante ao longo do tempo. No entanto, se a força ou o potencial dependem explicitamente do tempo, isso pode introduzir termos que fazem a energia total não ser conservada. Ou seja, a dependência temporal da força pode levar a uma mudança na energia total do sistema, violando a conservação da energia como normalmente entendida.

Resposta

Assim, mostramos que, para um tempo fixo , a força pode ser escrita como o gradiente negativo de um potencial escalar , ou seja, . Além disso, o argumento que leva à Equação (4.19) está incorreto porque a dependência temporal da força implica que a energia total do sistema não é conservada, contrariando a suposição de conservação de energia.

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